Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62459 / 76796
↖ ↑ ↗
← S 29.525670°
W  8.451233°		 ← 265.76 m → S 29.525670°
W  8.448486°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.528060°
W  8.451233°		 ← 265.76 m →
70 621 m²		 S 29.528060°
W  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476528167724609 y=0.585910797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476528167724609 × 217)
    floor (0.476528167724609 × 131072)
    floor (62459.5)     		tx = 62459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585910797119141 × 217)
    floor (0.585910797119141 × 131072)
    floor (76796.5)     		ty = 76796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62459 / 76796 ti = "17/62459/76796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62459/76796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62459 ÷ 217
    62459 ÷ 131072     		x = 0.476524353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76796 ÷ 217
    76796 ÷ 131072     		y = 0.585906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476524353027344 × 2 - 1) × π
    -0.0469512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14750184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.17181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.539769489721832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14750184} λ = -0.14750184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539769489721832))-π/2
    2×atan(0.582882597319097)-π/2
    2×0.527738082006418-π/2
    1.05547616401284-1.57079632675     		φ = -0.51532016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14750184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.451233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51532016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.525670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62459 KachelY 76796 -0.14750184 -0.51532016 -8.451233 -29.525670
    Oben rechts KachelX + 1 62460 KachelY 76796 -0.14745390 -0.51532016 -8.448486 -29.525670
    Unten links KachelX 62459 KachelY + 1 76797 -0.14750184 -0.51536187 -8.451233 -29.528060
    Unten rechts KachelX + 1 62460 KachelY + 1 76797 -0.14745390 -0.51536187 -8.448486 -29.528060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51532016--0.51536187) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51532016--0.51536187) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14750184--0.14745390) × cos(-0.51532016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870134987739935 × 6371000     		do = 265.76162253034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14750184--0.14745390) × cos(-0.51536187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870114431733764 × 6371000     		du = 265.755344196944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51532016)-sin(-0.51536187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870134987739935-0.870114431733764)×R²
    abs(-0.14745390--0.14750184)×2.0556006170569e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0556006170569e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0556006170569e-05×40589641000000     		ar = 70621.1737893216m²