Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62456 / 27848
↖ ↑ ↗
← N 71.350041°
W  8.459473°		 ← 97.67 m → N 71.350041°
W  8.456726°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 71.349163°
W  8.459473°		 ← 97.68 m →
9 539 m²		 N 71.349163°
W  8.456726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476505279541016 y=0.212467193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476505279541016 × 217)
    floor (0.476505279541016 × 131072)
    floor (62456.5)     		tx = 62456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212467193603516 × 217)
    floor (0.212467193603516 × 131072)
    floor (27848.5)     		ty = 27848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62456 / 27848 ti = "17/62456/27848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62456/27848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62456 ÷ 217
    62456 ÷ 131072     		x = 0.47650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27848 ÷ 217
    27848 ÷ 131072     		y = 0.21246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21246337890625 × 2 - 1) × π
    0.5750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80664587288068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14764565} λ = -0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80664587288068))-π/2
    2×atan(6.08998654817238)-π/2
    2×1.40804473433735-π/2
    2.81608946867469-1.57079632675     		φ = 1.24529314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24529314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.350041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62456 KachelY 27848 -0.14764565 1.24529314 -8.459473 71.350041
    Oben rechts KachelX + 1 62457 KachelY 27848 -0.14759771 1.24529314 -8.456726 71.350041
    Unten links KachelX 62456 KachelY + 1 27849 -0.14764565 1.24527781 -8.459473 71.349163
    Unten rechts KachelX + 1 62457 KachelY + 1 27849 -0.14759771 1.24527781 -8.456726 71.349163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24529314-1.24527781) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24529314-1.24527781) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14764565--0.14759771) × cos(1.24529314) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.31978559074458 × 6371000     		do = 97.670750694493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14764565--0.14759771) × cos(1.24527781) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.319800115727699 × 6371000     		du = 97.6751869982105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24529314)-sin(1.24527781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31978559074458-0.319800115727699)×R²
    abs(-0.14759771--0.14764565)×1.45249831189354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45249831189354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45249831189354e-05×40589641000000     		ar = 9539.46784804258m²