Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62455 / 27799
↖ ↑ ↗
← N 71.393031°
W  8.462219°		 ← 97.45 m → N 71.393031°
W  8.459473°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 71.392155°
W  8.462219°		 ← 97.46 m →
9 493 m²		 N 71.392155°
W  8.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476497650146484 y=0.212093353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476497650146484 × 217)
    floor (0.476497650146484 × 131072)
    floor (62455.5)     		tx = 62455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212093353271484 × 217)
    floor (0.212093353271484 × 131072)
    floor (27799.5)     		ty = 27799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62455 / 27799 ti = "17/62455/27799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62455/27799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62455 ÷ 217
    62455 ÷ 131072     		x = 0.476493835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27799 ÷ 217
    27799 ÷ 131072     		y = 0.212089538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476493835449219 × 2 - 1) × π
    -0.0470123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14769359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212089538574219 × 2 - 1) × π
    0.575820922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.80899478096206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14769359} λ = -0.14769359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80899478096206))-π/2
    2×atan(6.10430818030481)-π/2
    2×1.40841989015719-π/2
    2.81683978031437-1.57079632675     		φ = 1.24604345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14769359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.462219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24604345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.393031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62455 KachelY 27799 -0.14769359 1.24604345 -8.462219 71.393031
    Oben rechts KachelX + 1 62456 KachelY 27799 -0.14764565 1.24604345 -8.459473 71.393031
    Unten links KachelX 62455 KachelY + 1 27800 -0.14769359 1.24602816 -8.462219 71.392155
    Unten rechts KachelX + 1 62456 KachelY + 1 27800 -0.14764565 1.24602816 -8.459473 71.392155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24604345-1.24602816) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24604345-1.24602816) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14769359--0.14764565) × cos(1.24604345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.31907458962448 × 6371000     		do = 97.4535926513021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14769359--0.14764565) × cos(1.24602816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.319089080372859 × 6371000     		du = 97.458018498849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24604345)-sin(1.24602816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31907458962448-0.319089080372859)×R²
    abs(-0.14764565--0.14769359)×1.44907483791701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.44907483791701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.44907483791701e-05×40589641000000     		ar = 9493.4224315446m²