Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62453 / 39807
↖ ↑ ↗
← N 57.517298°
W  8.467712°		 ← 164.03 m → N 57.517298°
W  8.464966°		 →
↑
164.05 m
↓
↑
164.05 m
↓
N 57.515823°
W  8.467712°		 ← 164.03 m →
26 910 m²		 N 57.515823°
W  8.464966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476482391357422 y=0.303707122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476482391357422 × 217)
    floor (0.476482391357422 × 131072)
    floor (62453.5)     		tx = 62453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303707122802734 × 217)
    floor (0.303707122802734 × 131072)
    floor (39807.5)     		ty = 39807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62453 / 39807 ti = "17/62453/39807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62453/39807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62453 ÷ 217
    62453 ÷ 131072     		x = 0.476478576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39807 ÷ 217
    39807 ÷ 131072     		y = 0.303703308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476478576660156 × 2 - 1) × π
    -0.0470428466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14778946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303703308105469 × 2 - 1) × π
    0.392593383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.23336849032442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14778946} λ = -0.14778946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23336849032442))-π/2
    2×atan(3.43277334657155)-π/2
    2×1.28733127628213-π/2
    2.57466255256427-1.57079632675     		φ = 1.00386623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14778946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.467712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00386623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.517298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62453 KachelY 39807 -0.14778946 1.00386623 -8.467712 57.517298
    Oben rechts KachelX + 1 62454 KachelY 39807 -0.14774152 1.00386623 -8.464966 57.517298
    Unten links KachelX 62453 KachelY + 1 39808 -0.14778946 1.00384048 -8.467712 57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 62454 KachelY + 1 39808 -0.14774152 1.00384048 -8.464966 57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00386623-1.00384048) × R
    2.57500000000466e-05 × 6371000     		dl = 164.053250000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00386623-1.00384048) × R
    2.57500000000466e-05 × 6371000     		dr = 164.053250000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14778946--0.14774152) × cos(1.00386623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.537044955464846 × 6371000     		do = 164.0273529362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14778946--0.14774152) × cos(1.00384048) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 164.033987188804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00386623)-sin(1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537044955464846-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.14774152--0.14778946)×2.17213277570183e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17213277570183e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17213277570183e-05×40589641000000     		ar = 26909.7645249832m²