Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62453 / 29707
↖ ↑ ↗
← N 69.646581°
W  8.467712°		 ← 106.23 m → N 69.646581°
W  8.464966°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 69.645625°
W  8.467712°		 ← 106.23 m →
11 289 m²		 N 69.645625°
W  8.464966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476482391357422 y=0.226650238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476482391357422 × 217)
    floor (0.476482391357422 × 131072)
    floor (62453.5)     		tx = 62453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226650238037109 × 217)
    floor (0.226650238037109 × 131072)
    floor (29707.5)     		ty = 29707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62453 / 29707 ti = "17/62453/29707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62453/29707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62453 ÷ 217
    62453 ÷ 131072     		x = 0.476478576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29707 ÷ 217
    29707 ÷ 131072     		y = 0.226646423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476478576660156 × 2 - 1) × π
    -0.0470428466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14778946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226646423339844 × 2 - 1) × π
    0.546707153320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.71753117648699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14778946} λ = -0.14778946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71753117648699))-π/2
    2×atan(5.57075825419782)-π/2
    2×1.39317923634378-π/2
    2.78635847268757-1.57079632675     		φ = 1.21556215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14778946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.467712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21556215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.646581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62453 KachelY 29707 -0.14778946 1.21556215 -8.467712 69.646581
    Oben rechts KachelX + 1 62454 KachelY 29707 -0.14774152 1.21556215 -8.464966 69.646581
    Unten links KachelX 62453 KachelY + 1 29708 -0.14778946 1.21554547 -8.467712 69.645625
    Unten rechts KachelX + 1 62454 KachelY + 1 29708 -0.14774152 1.21554547 -8.464966 69.645625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21556215-1.21554547) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21556215-1.21554547) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14778946--0.14774152) × cos(1.21556215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347809930752561 × 6371000     		do = 106.230105479503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14778946--0.14774152) × cos(1.21554547) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347825569289469 × 6371000     		du = 106.234881891211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21556215)-sin(1.21554547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347809930752561-0.347825569289469)×R²
    abs(-0.14774152--0.14778946)×1.56385369078915e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56385369078915e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56385369078915e-05×40589641000000     		ar = 11289.144384277m²