Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62448 / 39792
↖ ↑ ↗
← N 57.539417°
W  8.481446°		 ← 163.93 m → N 57.539417°
W  8.478699°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.537942°
W  8.481446°		 ← 163.93 m →
26 873 m²		 N 57.537942°
W  8.478699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476444244384766 y=0.303592681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476444244384766 × 217)
    floor (0.476444244384766 × 131072)
    floor (62448.5)     		tx = 62448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303592681884766 × 217)
    floor (0.303592681884766 × 131072)
    floor (39792.5)     		ty = 39792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62448 / 39792 ti = "17/62448/39792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62448/39792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62448 ÷ 217
    62448 ÷ 131072     		x = 0.4764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39792 ÷ 217
    39792 ÷ 131072     		y = 0.3035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3035888671875 × 2 - 1) × π
    0.392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23408754381873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14802915} λ = -0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23408754381873))-π/2
    2×atan(3.4352425818913)-π/2
    2×1.28752429975844-π/2
    2.57504859951687-1.57079632675     		φ = 1.00425227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00425227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.539417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62448 KachelY 39792 -0.14802915 1.00425227 -8.481446 57.539417
    Oben rechts KachelX + 1 62449 KachelY 39792 -0.14798121 1.00425227 -8.478699 57.539417
    Unten links KachelX 62448 KachelY + 1 39793 -0.14802915 1.00422654 -8.481446 57.537942
    Unten rechts KachelX + 1 62449 KachelY + 1 39793 -0.14798121 1.00422654 -8.478699 57.537942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00425227-1.00422654) × R
    2.57300000001681e-05 × 6371000     		dl = 163.925830001071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00425227-1.00422654) × R
    2.57300000001681e-05 × 6371000     		dr = 163.925830001071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14802915--0.14798121) × cos(1.00425227) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536719270015031 × 6371000     		do = 163.927880216588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14802915--0.14798121) × cos(1.00422654) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536740979804847 × 6371000     		du = 163.934510945208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00425227)-sin(1.00422654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536719270015031-0.536740979804847)×R²
    abs(-0.14798121--0.14802915)×2.17097898165264e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17097898165264e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17097898165264e-05×40589641000000     		ar = 26872.5573001461m²