Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62441 / 25385
↖ ↑ ↗
← N 73.396276°
W  8.500671°		 ← 87.26 m → N 73.396276°
W  8.497925°		 →
↑
87.28 m
↓
↑
87.28 m
↓
N 73.395491°
W  8.500671°		 ← 87.26 m →
7 616 m²		 N 73.395491°
W  8.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476390838623047 y=0.193675994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476390838623047 × 217)
    floor (0.476390838623047 × 131072)
    floor (62441.5)     		tx = 62441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193675994873047 × 217)
    floor (0.193675994873047 × 131072)
    floor (25385.5)     		ty = 25385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62441 / 25385 ti = "17/62441/25385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62441/25385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62441 ÷ 217
    62441 ÷ 131072     		x = 0.476387023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25385 ÷ 217
    25385 ÷ 131072     		y = 0.193672180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476387023925781 × 2 - 1) × π
    -0.0472259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14836470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193672180175781 × 2 - 1) × π
    0.612655639648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.92471445664487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14836470} λ = -0.14836470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92471445664487))-π/2
    2×atan(6.85319150318993)-π/2
    2×1.42590149721262-π/2
    2.85180299442524-1.57079632675     		φ = 1.28100667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14836470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.500671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28100667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.396276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62441 KachelY 25385 -0.14836470 1.28100667 -8.500671 73.396276
    Oben rechts KachelX + 1 62442 KachelY 25385 -0.14831677 1.28100667 -8.497925 73.396276
    Unten links KachelX 62441 KachelY + 1 25386 -0.14836470 1.28099297 -8.500671 73.395491
    Unten rechts KachelX + 1 62442 KachelY + 1 25386 -0.14831677 1.28099297 -8.497925 73.395491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28100667-1.28099297) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dl = 87.2827000000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28100667-1.28099297) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dr = 87.2827000000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14836470--0.14831677) × cos(1.28100667) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285750658692403 × 6371000     		do = 87.2574012121522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14836470--0.14831677) × cos(1.28099297) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285763787430419 × 6371000     		du = 87.2614102302443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28100667)-sin(1.28099297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285750658692403-0.285763787430419)×R²
    abs(-0.14831677--0.14836470)×1.31287380165102e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31287380165102e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31287380165102e-05×40589641000000     		ar = 7616.23653187993m²