Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6244 / 7303
↖ ↑ ↗
← N 19.165924°
W 42.802734°		 ← 2 307.79 m → N 19.165924°
W 42.780762°		 →
↑
2 307.96 m
↓
↑
2 307.96 m
↓
N 19.145168°
W 42.802734°		 ← 2 308.08 m →
5 326 623 m²		 N 19.145168°
W 42.780762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381134033203125 y=0.445770263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381134033203125 × 214)
    floor (0.381134033203125 × 16384)
    floor (6244.5)     		tx = 6244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445770263671875 × 214)
    floor (0.445770263671875 × 16384)
    floor (7303.5)     		ty = 7303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6244 / 7303 ti = "14/6244/7303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6244/7303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6244 ÷ 214
    6244 ÷ 16384     		x = 0.381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7303 ÷ 214
    7303 ÷ 16384     		y = 0.44573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74704864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    0.1085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.340927230097839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74704864} λ = -0.74704864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340927230097839))-π/2
    2×atan(1.40625090439798)-π/2
    2×0.952652404599669-π/2
    1.90530480919934-1.57079632675     		φ = 0.33450848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74704864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.802734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33450848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.165924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6244 KachelY 7303 -0.74704864 0.33450848 -42.802734 19.165924
    Oben rechts KachelX + 1 6245 KachelY 7303 -0.74666515 0.33450848 -42.780762 19.165924
    Unten links KachelX 6244 KachelY + 1 7304 -0.74704864 0.33414622 -42.802734 19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 6245 KachelY + 1 7304 -0.74666515 0.33414622 -42.780762 19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33450848-0.33414622) × R
    0.000362260000000003 × 6371000     		dl = 2307.95846000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33450848-0.33414622) × R
    0.000362260000000003 × 6371000     		dr = 2307.95846000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74704864--0.74666515) × cos(0.33450848) × R
    0.000383490000000042 × 0.94457179216757 × 6371000     		do = 2307.79177284086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74704864--0.74666515) × cos(0.33414622) × R
    0.000383490000000042 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 2308.0821972051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33450848)-sin(0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94457179216757-0.944690661931055)×R²
    abs(-0.74666515--0.74704864)×0.000118869763485741×R²
    0.000383490000000042×0.000118869763485741×6371000²
    0.000383490000000042×0.000118869763485741×40589641000000     		ar = 5326622.74798274m²