Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62436 / 39668
↖ ↑ ↗
← N 57.721752°
W  8.514404°		 ← 163.11 m → N 57.721752°
W  8.511658°		 →
↑
163.10 m
↓
↑
163.10 m
↓
N 57.720286°
W  8.514404°		 ← 163.11 m →
26 603 m²		 N 57.720286°
W  8.511658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476352691650391 y=0.302646636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476352691650391 × 217)
    floor (0.476352691650391 × 131072)
    floor (62436.5)     		tx = 62436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302646636962891 × 217)
    floor (0.302646636962891 × 131072)
    floor (39668.5)     		ty = 39668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62436 / 39668 ti = "17/62436/39668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62436/39668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62436 ÷ 217
    62436 ÷ 131072     		x = 0.476348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39668 ÷ 217
    39668 ÷ 131072     		y = 0.302642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.04730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14860439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302642822265625 × 2 - 1) × π
    0.39471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24003171937161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14860439} λ = -0.14860439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24003171937161))-π/2
    2×atan(3.45572307638871)-π/2
    2×1.28911548024874-π/2
    2.57823096049748-1.57079632675     		φ = 1.00743463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14860439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.514404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00743463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.721752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62436 KachelY 39668 -0.14860439 1.00743463 -8.514404 57.721752
    Oben rechts KachelX + 1 62437 KachelY 39668 -0.14855645 1.00743463 -8.511658 57.721752
    Unten links KachelX 62436 KachelY + 1 39669 -0.14860439 1.00740903 -8.514404 57.720286
    Unten rechts KachelX + 1 62437 KachelY + 1 39669 -0.14855645 1.00740903 -8.511658 57.720286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00743463-1.00740903) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dl = 163.097600000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00743463-1.00740903) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dr = 163.097600000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14860439--0.14855645) × cos(1.00743463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534031405881222 × 6371000     		do = 163.1069373245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14860439--0.14855645) × cos(1.00740903) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534053049601013 × 6371000     		du = 163.113547873633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00743463)-sin(1.00740903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534031405881222-0.534053049601013)×R²
    abs(-0.14855645--0.14860439)×2.16437197908537e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16437197908537e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16437197908537e-05×40589641000000     		ar = 26602.8891047997m²