Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62436 / 34972
↖ ↑ ↗
← N 63.980781°
W  8.514404°		 ← 133.98 m → N 63.980781°
W  8.511658°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
N 63.979576°
W  8.514404°		 ← 133.99 m →
17 952 m²		 N 63.979576°
W  8.511658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476352691650391 y=0.266819000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476352691650391 × 217)
    floor (0.476352691650391 × 131072)
    floor (62436.5)     		tx = 62436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266819000244141 × 217)
    floor (0.266819000244141 × 131072)
    floor (34972.5)     		ty = 34972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62436 / 34972 ti = "17/62436/34972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62436/34972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62436 ÷ 217
    62436 ÷ 131072     		x = 0.476348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34972 ÷ 217
    34972 ÷ 131072     		y = 0.266815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.04730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14860439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266815185546875 × 2 - 1) × π
    0.46636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4651433999874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14860439} λ = -0.14860439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4651433999874))-π/2
    2×atan(4.32816385444386)-π/2
    2×1.34373580421821-π/2
    2.68747160843641-1.57079632675     		φ = 1.11667528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14860439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.514404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11667528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.980781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62436 KachelY 34972 -0.14860439 1.11667528 -8.514404 63.980781
    Oben rechts KachelX + 1 62437 KachelY 34972 -0.14855645 1.11667528 -8.511658 63.980781
    Unten links KachelX 62436 KachelY + 1 34973 -0.14860439 1.11665425 -8.514404 63.979576
    Unten rechts KachelX + 1 62437 KachelY + 1 34973 -0.14855645 1.11665425 -8.511658 63.979576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11667528-1.11665425) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dl = 133.982129999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11667528-1.11665425) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dr = 133.982129999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14860439--0.14855645) × cos(1.11667528) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438672614742562 × 6371000     		do = 133.981907975472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14860439--0.14855645) × cos(1.11665425) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438691513190872 × 6371000     		du = 133.987680048032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11667528)-sin(1.11665425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438672614742562-0.438691513190872)×R²
    abs(-0.14855645--0.14860439)×1.88984483101562e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88984483101562e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88984483101562e-05×40589641000000     		ar = 17951.5680897371m²