Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62433 / 40161
↖ ↑ ↗
← N 56.991387°
W  8.522644°		 ← 166.39 m → N 56.991387°
W  8.519897°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 56.989891°
W  8.522644°		 ← 166.39 m →
27 678 m²		 N 56.989891°
W  8.519897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476329803466797 y=0.306407928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476329803466797 × 217)
    floor (0.476329803466797 × 131072)
    floor (62433.5)     		tx = 62433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306407928466797 × 217)
    floor (0.306407928466797 × 131072)
    floor (40161.5)     		ty = 40161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62433 / 40161 ti = "17/62433/40161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62433/40161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62433 ÷ 217
    62433 ÷ 131072     		x = 0.476325988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40161 ÷ 217
    40161 ÷ 131072     		y = 0.306404113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476325988769531 × 2 - 1) × π
    -0.0473480224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14874820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306404113769531 × 2 - 1) × π
    0.387191772460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21639882785892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14874820} λ = -0.14874820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21639882785892))-π/2
    2×atan(3.37501182444942)-π/2
    2×1.28274183404733-π/2
    2.56548366809466-1.57079632675     		φ = 0.99468734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14874820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.522644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99468734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.991387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62433 KachelY 40161 -0.14874820 0.99468734 -8.522644 56.991387
    Oben rechts KachelX + 1 62434 KachelY 40161 -0.14870026 0.99468734 -8.519897 56.991387
    Unten links KachelX 62433 KachelY + 1 40162 -0.14874820 0.99466123 -8.522644 56.989891
    Unten rechts KachelX + 1 62434 KachelY + 1 40162 -0.14870026 0.99466123 -8.519897 56.989891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99468734-0.99466123) × R
    2.61100000000791e-05 × 6371000     		dl = 166.346810000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99468734-0.99466123) × R
    2.61100000000791e-05 × 6371000     		dr = 166.346810000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14874820--0.14870026) × cos(0.99468734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544765109256605 × 6371000     		do = 166.385286620867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14874820--0.14870026) × cos(0.99466123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544787004621369 × 6371000     		du = 166.391974028852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99468734)-sin(0.99466123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544765109256605-0.544787004621369)×R²
    abs(-0.14870026--0.14874820)×2.18953647639353e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18953647639353e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18953647639353e-05×40589641000000     		ar = 27678.2178765492m²