Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62431 / 27679
↖ ↑ ↗
← N 71.497908°
W  8.528137°		 ← 96.90 m → N 71.497908°
W  8.525391°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
N 71.497037°
W  8.528137°		 ← 96.91 m →
9 390 m²		 N 71.497037°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476314544677734 y=0.211177825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476314544677734 × 217)
    floor (0.476314544677734 × 131072)
    floor (62431.5)     		tx = 62431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211177825927734 × 217)
    floor (0.211177825927734 × 131072)
    floor (27679.5)     		ty = 27679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62431 / 27679 ti = "17/62431/27679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62431/27679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62431 ÷ 217
    62431 ÷ 131072     		x = 0.476310729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27679 ÷ 217
    27679 ÷ 131072     		y = 0.211174011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476310729980469 × 2 - 1) × π
    -0.0473785400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14884407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211174011230469 × 2 - 1) × π
    0.577651977539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.81474720891647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14884407} λ = -0.14884407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81474720891647))-π/2
    2×atan(6.13952396434506)-π/2
    2×1.40933511936331-π/2
    2.81867023872662-1.57079632675     		φ = 1.24787391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14884407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.528137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24787391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.497908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62431 KachelY 27679 -0.14884407 1.24787391 -8.528137 71.497908
    Oben rechts KachelX + 1 62432 KachelY 27679 -0.14879614 1.24787391 -8.525391 71.497908
    Unten links KachelX 62431 KachelY + 1 27680 -0.14884407 1.24785870 -8.528137 71.497037
    Unten rechts KachelX + 1 62432 KachelY + 1 27680 -0.14879614 1.24785870 -8.525391 71.497037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24787391-1.24785870) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dl = 96.9029099995682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24787391-1.24785870) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dr = 96.9029099995682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14884407--0.14879614) × cos(1.24787391) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.317339274915547 × 6371000     		do = 96.9033651869426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14884407--0.14879614) × cos(1.24785870) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.317353698705443 × 6371000     		du = 96.9077696647058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24787391)-sin(1.24785870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317339274915547-0.317353698705443)×R²
    abs(-0.14879614--0.14884407)×1.44237898967448e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44237898967448e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44237898967448e-05×40589641000000     		ar = 9390.43147904302m²