Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62431 / 25439
↖ ↑ ↗
← N 73.353842°
W  8.528137°		 ← 87.47 m → N 73.353842°
W  8.525391°		 →
↑
87.47 m
↓
↑
87.47 m
↓
N 73.353055°
W  8.528137°		 ← 87.48 m →
7 652 m²		 N 73.353055°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476314544677734 y=0.194087982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476314544677734 × 217)
    floor (0.476314544677734 × 131072)
    floor (62431.5)     		tx = 62431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194087982177734 × 217)
    floor (0.194087982177734 × 131072)
    floor (25439.5)     		ty = 25439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62431 / 25439 ti = "17/62431/25439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62431/25439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62431 ÷ 217
    62431 ÷ 131072     		x = 0.476310729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25439 ÷ 217
    25439 ÷ 131072     		y = 0.194084167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476310729980469 × 2 - 1) × π
    -0.0473785400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14884407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194084167480469 × 2 - 1) × π
    0.611831665039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.92212586406539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14884407} λ = -0.14884407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92212586406539))-π/2
    2×atan(6.83547432369198)-π/2
    2×1.42553119211576-π/2
    2.85106238423153-1.57079632675     		φ = 1.28026606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14884407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.528137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28026606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.353842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62431 KachelY 25439 -0.14884407 1.28026606 -8.528137 73.353842
    Oben rechts KachelX + 1 62432 KachelY 25439 -0.14879614 1.28026606 -8.525391 73.353842
    Unten links KachelX 62431 KachelY + 1 25440 -0.14884407 1.28025233 -8.528137 73.353055
    Unten rechts KachelX + 1 62432 KachelY + 1 25440 -0.14879614 1.28025233 -8.525391 73.353055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28026606-1.28025233) × R
    1.37300000000451e-05 × 6371000     		dl = 87.4738300002873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28026606-1.28025233) × R
    1.37300000000451e-05 × 6371000     		dr = 87.4738300002873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14884407--0.14879614) × cos(1.28026606) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.286460309787187 × 6371000     		do = 87.4741017110472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14884407--0.14879614) × cos(1.28025233) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.286473464364854 × 6371000     		du = 87.4781186195873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28026606)-sin(1.28025233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286460309787187-0.286473464364854)×R²
    abs(-0.14879614--0.14884407)×1.31545776668185e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31545776668185e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31545776668185e-05×40589641000000     		ar = 7651.87038980758m²