Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62426 / 25370
↖ ↑ ↗
← N 73.408044°
W  8.541870°		 ← 87.22 m → N 73.408044°
W  8.539123°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
N 73.407260°
W  8.541870°		 ← 87.22 m →
7 607 m²		 N 73.407260°
W  8.539123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476276397705078 y=0.193561553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476276397705078 × 217)
    floor (0.476276397705078 × 131072)
    floor (62426.5)     		tx = 62426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193561553955078 × 217)
    floor (0.193561553955078 × 131072)
    floor (25370.5)     		ty = 25370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62426 / 25370 ti = "17/62426/25370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62426/25370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62426 ÷ 217
    62426 ÷ 131072     		x = 0.476272583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25370 ÷ 217
    25370 ÷ 131072     		y = 0.193557739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476272583007812 × 2 - 1) × π
    -0.047454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14908376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193557739257812 × 2 - 1) × π
    0.612884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92543351013918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14908376} λ = -0.14908376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92543351013918))-π/2
    2×atan(6.8581210865921)-π/2
    2×1.42600419682976-π/2
    2.85200839365952-1.57079632675     		φ = 1.28121207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14908376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.541870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28121207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.408044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62426 KachelY 25370 -0.14908376 1.28121207 -8.541870 73.408044
    Oben rechts KachelX + 1 62427 KachelY 25370 -0.14903582 1.28121207 -8.539123 73.408044
    Unten links KachelX 62426 KachelY + 1 25371 -0.14908376 1.28119838 -8.541870 73.407260
    Unten rechts KachelX + 1 62427 KachelY + 1 25371 -0.14903582 1.28119838 -8.539123 73.407260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28121207-1.28119838) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dl = 87.2189900004214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28121207-1.28119838) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dr = 87.2189900004214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14908376--0.14903582) × cos(1.28121207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.2855538170239 × 6371000     		do = 87.2154858743424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14908376--0.14903582) × cos(1.28119838) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285566936982167 × 6371000     		du = 87.2194930473049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28121207)-sin(1.28119838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2855538170239-0.285566936982167)×R²
    abs(-0.14903582--0.14908376)×1.31199582670827e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31199582670827e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31199582670827e-05×40589641000000     		ar = 7607.02134125407m²