Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62425 / 25374
↖ ↑ ↗
← N 73.404907°
W  8.544616°		 ← 87.21 m → N 73.404907°
W  8.541870°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
N 73.404122°
W  8.544616°		 ← 87.22 m →
7 607 m²		 N 73.404122°
W  8.541870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476268768310547 y=0.193592071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476268768310547 × 217)
    floor (0.476268768310547 × 131072)
    floor (62425.5)     		tx = 62425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193592071533203 × 217)
    floor (0.193592071533203 × 131072)
    floor (25374.5)     		ty = 25374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62425 / 25374 ti = "17/62425/25374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62425/25374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62425 ÷ 217
    62425 ÷ 131072     		x = 0.476264953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25374 ÷ 217
    25374 ÷ 131072     		y = 0.193588256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476264953613281 × 2 - 1) × π
    -0.0474700927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14913169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193588256835938 × 2 - 1) × π
    0.612823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9252417625407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14913169} λ = -0.14913169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9252417625407))-π/2
    2×atan(6.85680618441236)-π/2
    2×1.42597681718454-π/2
    2.85195363436909-1.57079632675     		φ = 1.28115731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14913169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.544616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28115731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.404907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62425 KachelY 25374 -0.14913169 1.28115731 -8.544616 73.404907
    Oben rechts KachelX + 1 62426 KachelY 25374 -0.14908376 1.28115731 -8.541870 73.404907
    Unten links KachelX 62425 KachelY + 1 25375 -0.14913169 1.28114362 -8.544616 73.404122
    Unten rechts KachelX + 1 62426 KachelY + 1 25375 -0.14908376 1.28114362 -8.541870 73.404122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28115731-1.28114362) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dl = 87.2189900004214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28115731-1.28114362) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dr = 87.2189900004214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14913169--0.14908376) × cos(1.28115731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285606296535839 × 6371000     		do = 87.2133184909686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14913169--0.14908376) × cos(1.28114362) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285619416280012 × 6371000     		du = 87.2173247626823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28115731)-sin(1.28114362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285606296535839-0.285619416280012)×R²
    abs(-0.14908376--0.14913169)×1.31197441728959e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31197441728959e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31197441728959e-05×40589641000000     		ar = 7606.83226480427m²