Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62424 / 25384
↖ ↑ ↗
← N 73.397061°
W  8.547363°		 ← 87.27 m → N 73.397061°
W  8.544616°		 →
↑
87.28 m
↓
↑
87.28 m
↓
N 73.396276°
W  8.547363°		 ← 87.28 m →
7 617 m²		 N 73.396276°
W  8.544616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476261138916016 y=0.193668365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476261138916016 × 217)
    floor (0.476261138916016 × 131072)
    floor (62424.5)     		tx = 62424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193668365478516 × 217)
    floor (0.193668365478516 × 131072)
    floor (25384.5)     		ty = 25384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62424 / 25384 ti = "17/62424/25384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62424/25384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62424 ÷ 217
    62424 ÷ 131072     		x = 0.47625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25384 ÷ 217
    25384 ÷ 131072     		y = 0.19366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19366455078125 × 2 - 1) × π
    0.6126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92476239354449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14917963} λ = -0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92476239354449))-π/2
    2×atan(6.85352003181736)-π/2
    2×1.42590834605568-π/2
    2.85181669211137-1.57079632675     		φ = 1.28102037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28102037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.397061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62424 KachelY 25384 -0.14917963 1.28102037 -8.547363 73.397061
    Oben rechts KachelX + 1 62425 KachelY 25384 -0.14913169 1.28102037 -8.544616 73.397061
    Unten links KachelX 62424 KachelY + 1 25385 -0.14917963 1.28100667 -8.547363 73.396276
    Unten rechts KachelX + 1 62425 KachelY + 1 25385 -0.14913169 1.28100667 -8.544616 73.396276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28102037-1.28100667) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dl = 87.2827000000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28102037-1.28100667) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dr = 87.2827000000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14917963--0.14913169) × cos(1.28102037) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285737529900754 × 6371000     		do = 87.2715965157032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14917963--0.14913169) × cos(1.28100667) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285750658692403 × 6371000     		du = 87.2756063866079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28102037)-sin(1.28100667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285737529900754-0.285750658692403)×R²
    abs(-0.14913169--0.14917963)×1.3128791649053e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3128791649053e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3128791649053e-05×40589641000000     		ar = 7617.47557343079m²