Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62422 / 25943
↖ ↑ ↗
← N 72.952679°
W  8.552857°		 ← 89.54 m → N 72.952679°
W  8.550110°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
N 72.951874°
W  8.552857°		 ← 89.54 m →
8 015 m²		 N 72.951874°
W  8.550110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476245880126953 y=0.197933197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476245880126953 × 217)
    floor (0.476245880126953 × 131072)
    floor (62422.5)     		tx = 62422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197933197021484 × 217)
    floor (0.197933197021484 × 131072)
    floor (25943.5)     		ty = 25943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62422 / 25943 ti = "17/62422/25943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62422/25943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62422 ÷ 217
    62422 ÷ 131072     		x = 0.476242065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25943 ÷ 217
    25943 ÷ 131072     		y = 0.197929382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476242065429688 × 2 - 1) × π
    -0.047515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14927551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197929382324219 × 2 - 1) × π
    0.604141235351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.89796566665688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14927551} λ = -0.14927551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89796566665688))-π/2
    2×atan(6.6723069297377)-π/2
    2×1.42203038994379-π/2
    2.84406077988758-1.57079632675     		φ = 1.27326445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14927551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.552857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27326445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.952679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62422 KachelY 25943 -0.14927551 1.27326445 -8.552857 72.952679
    Oben rechts KachelX + 1 62423 KachelY 25943 -0.14922757 1.27326445 -8.550110 72.952679
    Unten links KachelX 62422 KachelY + 1 25944 -0.14927551 1.27325040 -8.552857 72.951874
    Unten rechts KachelX + 1 62423 KachelY + 1 25944 -0.14922757 1.27325040 -8.550110 72.951874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27326445-1.27325040) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27326445-1.27325040) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14927551--0.14922757) × cos(1.27326445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.293161420798004 × 6371000     		do = 89.5390438866748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14927551--0.14922757) × cos(1.27325040) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.293174853453641 × 6371000     		du = 89.5431465654628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27326445)-sin(1.27325040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293161420798004-0.293174853453641)×R²
    abs(-0.14922757--0.14927551)×1.3432655636636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3432655636636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3432655636636e-05×40589641000000     		ar = 8015.0517635688m²