Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62421 / 29515
↖ ↑ ↗
← N 69.829207°
W  8.555603°		 ← 105.29 m → N 69.829207°
W  8.552857°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
N 69.828260°
W  8.555603°		 ← 105.30 m →
11 089 m²		 N 69.828260°
W  8.552857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476238250732422 y=0.225185394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476238250732422 × 217)
    floor (0.476238250732422 × 131072)
    floor (62421.5)     		tx = 62421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225185394287109 × 217)
    floor (0.225185394287109 × 131072)
    floor (29515.5)     		ty = 29515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62421 / 29515 ti = "17/62421/29515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62421/29515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62421 ÷ 217
    62421 ÷ 131072     		x = 0.476234436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29515 ÷ 217
    29515 ÷ 131072     		y = 0.225181579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476234436035156 × 2 - 1) × π
    -0.0475311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14932344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225181579589844 × 2 - 1) × π
    0.549636840820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.72673506121404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14932344} λ = -0.14932344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72673506121404))-π/2
    2×atan(5.62226755020452)-π/2
    2×1.39477294874667-π/2
    2.78954589749334-1.57079632675     		φ = 1.21874957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14932344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.555603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21874957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.829207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62421 KachelY 29515 -0.14932344 1.21874957 -8.555603 69.829207
    Oben rechts KachelX + 1 62422 KachelY 29515 -0.14927551 1.21874957 -8.552857 69.829207
    Unten links KachelX 62421 KachelY + 1 29516 -0.14932344 1.21873304 -8.555603 69.828260
    Unten rechts KachelX + 1 62422 KachelY + 1 29516 -0.14927551 1.21873304 -8.552857 69.828260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21874957-1.21873304) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dl = 105.312629999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21874957-1.21873304) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dr = 105.312629999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14932344--0.14927551) × cos(1.21874957) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.344819755360211 × 6371000     		do = 105.294860480901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14932344--0.14927551) × cos(1.21873304) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.344835271510304 × 6371000     		du = 105.299598523991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21874957)-sin(1.21873304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344819755360211-0.344835271510304)×R²
    abs(-0.14927551--0.14932344)×1.55161500928203e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.55161500928203e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.55161500928203e-05×40589641000000     		ar = 11089.1281708048m²