Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62420 / 76124
↖ ↑ ↗
← S 27.907058°
W  8.558350°		 ← 269.91 m → S 27.907058°
W  8.555603°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
S 27.909485°
W  8.558350°		 ← 269.90 m →
72 841 m²		 S 27.909485°
W  8.555603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476230621337891 y=0.580783843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476230621337891 × 217)
    floor (0.476230621337891 × 131072)
    floor (62420.5)     		tx = 62420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580783843994141 × 217)
    floor (0.580783843994141 × 131072)
    floor (76124.5)     		ty = 76124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62420 / 76124 ti = "17/62420/76124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62420/76124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62420 ÷ 217
    62420 ÷ 131072     		x = 0.476226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76124 ÷ 217
    76124 ÷ 131072     		y = 0.580780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14937138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.16156005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507555893177155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14937138} λ = -0.14937138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507555893177155))-π/2
    2×atan(0.601965049193312)-π/2
    2×0.541863136842696-π/2
    1.08372627368539-1.57079632675     		φ = -0.48707005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14937138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.558350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48707005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.907058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62420 KachelY 76124 -0.14937138 -0.48707005 -8.558350 -27.907058
    Oben rechts KachelX + 1 62421 KachelY 76124 -0.14932344 -0.48707005 -8.555603 -27.907058
    Unten links KachelX 62420 KachelY + 1 76125 -0.14937138 -0.48711241 -8.558350 -27.909485
    Unten rechts KachelX + 1 62421 KachelY + 1 76125 -0.14932344 -0.48711241 -8.555603 -27.909485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48707005--0.48711241) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dl = 269.875560000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48707005--0.48711241) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dr = 269.875560000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14937138--0.14932344) × cos(-0.48707005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		do = 269.907163650036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14937138--0.14932344) × cos(-0.48711241) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883688152809204 × 6371000     		du = 269.901108000964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48707005)-sin(-0.48711241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88370797972056-0.883688152809204)×R²
    abs(-0.14932344--0.14937138)×1.98269113554916e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98269113554916e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98269113554916e-05×40589641000000     		ar = 72840.5298131685m²