Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62420 / 33873
↖ ↑ ↗
← N 65.273945°
W  8.558350°		 ← 127.75 m → N 65.273945°
W  8.555603°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.272796°
W  8.558350°		 ← 127.76 m →
16 319 m²		 N 65.272796°
W  8.555603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476230621337891 y=0.258434295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476230621337891 × 217)
    floor (0.476230621337891 × 131072)
    floor (62420.5)     		tx = 62420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258434295654297 × 217)
    floor (0.258434295654297 × 131072)
    floor (33873.5)     		ty = 33873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62420 / 33873 ti = "17/62420/33873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62420/33873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62420 ÷ 217
    62420 ÷ 131072     		x = 0.476226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33873 ÷ 217
    33873 ÷ 131072     		y = 0.258430480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14937138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258430480957031 × 2 - 1) × π
    0.483139038085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.51782605266984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14937138} λ = -0.14937138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51782605266984))-π/2
    2×atan(4.5622962148368)-π/2
    2×1.35502078907627-π/2
    2.71004157815254-1.57079632675     		φ = 1.13924525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14937138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.558350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13924525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.273945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62420 KachelY 33873 -0.14937138 1.13924525 -8.558350 65.273945
    Oben rechts KachelX + 1 62421 KachelY 33873 -0.14932344 1.13924525 -8.555603 65.273945
    Unten links KachelX 62420 KachelY + 1 33874 -0.14937138 1.13922520 -8.558350 65.272796
    Unten rechts KachelX + 1 62421 KachelY + 1 33874 -0.14932344 1.13922520 -8.555603 65.272796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13924525-1.13922520) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13924525-1.13922520) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14937138--0.14932344) × cos(1.13924525) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418280176083602 × 6371000     		do = 127.753532307654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14937138--0.14932344) × cos(1.13922520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418298387776586 × 6371000     		du = 127.759094627461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13924525)-sin(1.13922520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418280176083602-0.418298387776586)×R²
    abs(-0.14932344--0.14937138)×1.82116929847709e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82116929847709e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82116929847709e-05×40589641000000     		ar = 16319.406236175m²