Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62419 / 40121
↖ ↑ ↗
← N 57.051188°
W  8.561096°		 ← 166.12 m → N 57.051188°
W  8.558350°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.049694°
W  8.561096°		 ← 166.12 m →
27 602 m²		 N 57.049694°
W  8.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476222991943359 y=0.306102752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476222991943359 × 217)
    floor (0.476222991943359 × 131072)
    floor (62419.5)     		tx = 62419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306102752685547 × 217)
    floor (0.306102752685547 × 131072)
    floor (40121.5)     		ty = 40121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62419 / 40121 ti = "17/62419/40121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62419/40121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62419 ÷ 217
    62419 ÷ 131072     		x = 0.476219177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40121 ÷ 217
    40121 ÷ 131072     		y = 0.306098937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476219177246094 × 2 - 1) × π
    -0.0475616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14941932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306098937988281 × 2 - 1) × π
    0.387802124023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21831630384373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14941932} λ = -0.14941932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21831630384373))-π/2
    2×atan(3.38148953701564)-π/2
    2×1.28326370127178-π/2
    2.56652740254356-1.57079632675     		φ = 0.99573108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14941932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.561096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99573108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.051188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62419 KachelY 40121 -0.14941932 0.99573108 -8.561096 57.051188
    Oben rechts KachelX + 1 62420 KachelY 40121 -0.14937138 0.99573108 -8.558350 57.051188
    Unten links KachelX 62419 KachelY + 1 40122 -0.14941932 0.99570500 -8.561096 57.049694
    Unten rechts KachelX + 1 62420 KachelY + 1 40122 -0.14937138 0.99570500 -8.558350 57.049694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99573108-0.99570500) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dl = 166.155680000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99573108-0.99570500) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dr = 166.155680000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14941932--0.14937138) × cos(0.99573108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543889544134047 × 6371000     		do = 166.117866495391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14941932--0.14937138) × cos(0.99570500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543911429158868 × 6371000     		du = 166.124550745292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99573108)-sin(0.99570500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543889544134047-0.543911429158868)×R²
    abs(-0.14937138--0.14941932)×2.18850248213664e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18850248213664e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18850248213664e-05×40589641000000     		ar = 27601.9823822482m²