Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62418 / 76122
↖ ↑ ↗
← S 27.902204°
W  8.563843°		 ← 269.86 m → S 27.902204°
W  8.561096°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
S 27.904631°
W  8.563843°		 ← 269.86 m →
72 829 m²		 S 27.904631°
W  8.561096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476215362548828 y=0.580768585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476215362548828 × 217)
    floor (0.476215362548828 × 131072)
    floor (62418.5)     		tx = 62418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580768585205078 × 217)
    floor (0.580768585205078 × 131072)
    floor (76122.5)     		ty = 76122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62418 / 76122 ti = "17/62418/76122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62418/76122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62418 ÷ 217
    62418 ÷ 131072     		x = 0.476211547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76122 ÷ 217
    76122 ÷ 131072     		y = 0.580764770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476211547851562 × 2 - 1) × π
    -0.047576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14946725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580764770507812 × 2 - 1) × π
    -0.161529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.507460019377914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14946725} λ = -0.14946725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507460019377914))-π/2
    2×atan(0.602022764636243)-π/2
    2×0.54190550001376-π/2
    1.08381100002752-1.57079632675     		φ = -0.48698533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14946725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.563843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48698533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.902204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62418 KachelY 76122 -0.14946725 -0.48698533 -8.563843 -27.902204
    Oben rechts KachelX + 1 62419 KachelY 76122 -0.14941932 -0.48698533 -8.561096 -27.902204
    Unten links KachelX 62418 KachelY + 1 76123 -0.14946725 -0.48702769 -8.563843 -27.904631
    Unten rechts KachelX + 1 62419 KachelY + 1 76123 -0.14941932 -0.48702769 -8.561096 -27.904631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48698533--0.48702769) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dl = 269.875560000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48698533--0.48702769) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dr = 269.875560000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14946725--0.14941932) × cos(-0.48698533) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883747628786139 × 6371000     		do = 269.862969933831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14946725--0.14941932) × cos(-0.48702769) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883727805046217 × 6371000     		du = 269.856916516366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48698533)-sin(-0.48702769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883747628786139-0.883727805046217)×R²
    abs(-0.14941932--0.14946725)×1.98237399223755e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.98237399223755e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.98237399223755e-05×40589641000000     		ar = 72828.6033103461m²