Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62417 / 33874
↖ ↑ ↗
← N 65.272796°
W  8.566589°		 ← 127.76 m → N 65.272796°
W  8.563843°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.271647°
W  8.566589°		 ← 127.76 m →
16 320 m²		 N 65.271647°
W  8.563843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476207733154297 y=0.258441925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476207733154297 × 217)
    floor (0.476207733154297 × 131072)
    floor (62417.5)     		tx = 62417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258441925048828 × 217)
    floor (0.258441925048828 × 131072)
    floor (33874.5)     		ty = 33874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62417 / 33874 ti = "17/62417/33874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62417/33874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62417 ÷ 217
    62417 ÷ 131072     		x = 0.476203918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33874 ÷ 217
    33874 ÷ 131072     		y = 0.258438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476203918457031 × 2 - 1) × π
    -0.0475921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14951519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258438110351562 × 2 - 1) × π
    0.483123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51777811577022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14951519} λ = -0.14951519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51777811577022))-π/2
    2×atan(4.56207751774298)-π/2
    2×1.35501076333062-π/2
    2.71002152666125-1.57079632675     		φ = 1.13922520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14951519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.566589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13922520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.272796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62417 KachelY 33874 -0.14951519 1.13922520 -8.566589 65.272796
    Oben rechts KachelX + 1 62418 KachelY 33874 -0.14946725 1.13922520 -8.563843 65.272796
    Unten links KachelX 62417 KachelY + 1 33875 -0.14951519 1.13920515 -8.566589 65.271647
    Unten rechts KachelX + 1 62418 KachelY + 1 33875 -0.14946725 1.13920515 -8.563843 65.271647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13922520-1.13920515) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13922520-1.13920515) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14951519--0.14946725) × cos(1.13922520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418298387776586 × 6371000     		do = 127.759094627461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14951519--0.14946725) × cos(1.13920515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418316599301414 × 6371000     		du = 127.764656895908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13922520)-sin(1.13920515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418298387776586-0.418316599301414)×R²
    abs(-0.14946725--0.14951519)×1.8211524827727e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8211524827727e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8211524827727e-05×40589641000000     		ar = 16320.1167556515m²