Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62414 / 40099
↖ ↑ ↗
← N 57.084038°
W  8.574829°		 ← 165.97 m → N 57.084038°
W  8.572082°		 →
↑
165.96 m
↓
↑
165.96 m
↓
N 57.082545°
W  8.574829°		 ← 165.98 m →
27 546 m²		 N 57.082545°
W  8.572082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476184844970703 y=0.305934906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476184844970703 × 217)
    floor (0.476184844970703 × 131072)
    floor (62414.5)     		tx = 62414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305934906005859 × 217)
    floor (0.305934906005859 × 131072)
    floor (40099.5)     		ty = 40099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62414 / 40099 ti = "17/62414/40099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62414/40099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62414 ÷ 217
    62414 ÷ 131072     		x = 0.476181030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40099 ÷ 217
    40099 ÷ 131072     		y = 0.305931091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476181030273438 × 2 - 1) × π
    -0.047637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14965900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305931091308594 × 2 - 1) × π
    0.388137817382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21937091563537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14965900} λ = -0.14965900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21937091563537))-π/2
    2×atan(3.38505757687244)-π/2
    2×1.28355037055357-π/2
    2.56710074110714-1.57079632675     		φ = 0.99630441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14965900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99630441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.084038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62414 KachelY 40099 -0.14965900 0.99630441 -8.574829 57.084038
    Oben rechts KachelX + 1 62415 KachelY 40099 -0.14961106 0.99630441 -8.572082 57.084038
    Unten links KachelX 62414 KachelY + 1 40100 -0.14965900 0.99627836 -8.574829 57.082545
    Unten rechts KachelX + 1 62415 KachelY + 1 40100 -0.14961106 0.99627836 -8.572082 57.082545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99630441-0.99627836) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dl = 165.964549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99630441-0.99627836) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dr = 165.964549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14965900--0.14961106) × cos(0.99630441) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543408340992197 × 6371000     		do = 165.970894669701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14965900--0.14961106) × cos(0.99627836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543430208962434 × 6371000     		du = 165.977573710693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99630441)-sin(0.99627836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543408340992197-0.543430208962434)×R²
    abs(-0.14961106--0.14965900)×2.1867970236511e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1867970236511e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1867970236511e-05×40589641000000     		ar = 27545.8390905464m²