Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62411 / 26089
↖ ↑ ↗
← N 72.834727°
W  8.583069°		 ← 90.14 m → N 72.834727°
W  8.580322°		 →
↑
90.15 m
↓
↑
90.15 m
↓
N 72.833916°
W  8.583069°		 ← 90.14 m →
8 126 m²		 N 72.833916°
W  8.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476161956787109 y=0.199047088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476161956787109 × 217)
    floor (0.476161956787109 × 131072)
    floor (62411.5)     		tx = 62411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199047088623047 × 217)
    floor (0.199047088623047 × 131072)
    floor (26089.5)     		ty = 26089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62411 / 26089 ti = "17/62411/26089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62411/26089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62411 ÷ 217
    62411 ÷ 131072     		x = 0.476158142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26089 ÷ 217
    26089 ÷ 131072     		y = 0.199043273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476158142089844 × 2 - 1) × π
    -0.0476837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14980281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199043273925781 × 2 - 1) × π
    0.601913452148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.89096687931236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14980281} λ = -0.14980281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89096687931236))-π/2
    2×atan(6.62577190675603)-π/2
    2×1.4210010635409-π/2
    2.8420021270818-1.57079632675     		φ = 1.27120580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14980281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.583069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27120580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.834727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62411 KachelY 26089 -0.14980281 1.27120580 -8.583069 72.834727
    Oben rechts KachelX + 1 62412 KachelY 26089 -0.14975487 1.27120580 -8.580322 72.834727
    Unten links KachelX 62411 KachelY + 1 26090 -0.14980281 1.27119165 -8.583069 72.833916
    Unten rechts KachelX + 1 62412 KachelY + 1 26090 -0.14975487 1.27119165 -8.580322 72.833916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27120580-1.27119165) × R
    1.4149999999935e-05 × 6371000     		dl = 90.1496499995862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27120580-1.27119165) × R
    1.4149999999935e-05 × 6371000     		dr = 90.1496499995862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14980281--0.14975487) × cos(1.27120580) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.295128997203431 × 6371000     		do = 90.1399923663089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14980281--0.14975487) × cos(1.27119165) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.29514251689633 × 6371000     		du = 90.1441216285172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27120580)-sin(1.27119165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295128997203431-0.29514251689633)×R²
    abs(-0.14975487--0.14980281)×1.35196928991999e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.35196928991999e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.35196928991999e-05×40589641000000     		ar = 8126.27488861812m²