Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62409 / 76116
↖ ↑ ↗
← S 27.887639°
W  8.588562°		 ← 269.96 m → S 27.887639°
W  8.585816°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.890067°
W  8.588562°		 ← 269.95 m →
72 871 m²		 S 27.890067°
W  8.585816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476146697998047 y=0.580722808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476146697998047 × 217)
    floor (0.476146697998047 × 131072)
    floor (62409.5)     		tx = 62409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580722808837891 × 217)
    floor (0.580722808837891 × 131072)
    floor (76116.5)     		ty = 76116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62409 / 76116 ti = "17/62409/76116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62409/76116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62409 ÷ 217
    62409 ÷ 131072     		x = 0.476142883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76116 ÷ 217
    76116 ÷ 131072     		y = 0.580718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476142883300781 × 2 - 1) × π
    -0.0477142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14989869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.507172397980194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14989869} λ = -0.14989869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507172397980194))-π/2
    2×atan(0.602195944169143)-π/2
    2×0.542032600930192-π/2
    1.08406520186038-1.57079632675     		φ = -0.48673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14989869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.588562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.887639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62409 KachelY 76116 -0.14989869 -0.48673112 -8.588562 -27.887639
    Oben rechts KachelX + 1 62410 KachelY 76116 -0.14985075 -0.48673112 -8.585816 -27.887639
    Unten links KachelX 62409 KachelY + 1 76117 -0.14989869 -0.48677349 -8.588562 -27.890067
    Unten rechts KachelX + 1 62410 KachelY + 1 76117 -0.14985075 -0.48677349 -8.585816 -27.890067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48673112--0.48677349) × R
    4.23699999999583e-05 × 6371000     		dl = 269.939269999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48673112--0.48677349) × R
    4.23699999999583e-05 × 6371000     		dr = 269.939269999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14989869--0.14985075) × cos(-0.48673112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88386656131022 × 6371000     		do = 269.955598549408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14989869--0.14985075) × cos(-0.48677349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883846742409556 × 6371000     		du = 269.949545347007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48673112)-sin(-0.48677349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88386656131022-0.883846742409556)×R²
    abs(-0.14985075--0.14989869)×1.9818900663493e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9818900663493e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9818900663493e-05×40589641000000     		ar = 72870.8002170879m²