Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62409 / 39616
↖ ↑ ↗
← N 57.797944°
W  8.588562°		 ← 162.76 m → N 57.797944°
W  8.585816°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.796480°
W  8.588562°		 ← 162.77 m →
26 485 m²		 N 57.796480°
W  8.585816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476146697998047 y=0.302249908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476146697998047 × 217)
    floor (0.476146697998047 × 131072)
    floor (62409.5)     		tx = 62409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302249908447266 × 217)
    floor (0.302249908447266 × 131072)
    floor (39616.5)     		ty = 39616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62409 / 39616 ti = "17/62409/39616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62409/39616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62409 ÷ 217
    62409 ÷ 131072     		x = 0.476142883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39616 ÷ 217
    39616 ÷ 131072     		y = 0.30224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476142883300781 × 2 - 1) × π
    -0.0477142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14989869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30224609375 × 2 - 1) × π
    0.3955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14989869} λ = -0.14989869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24252443815186))-π/2
    2×atan(3.4643479674485)-π/2
    2×1.28978037422592-π/2
    2.57956074845184-1.57079632675     		φ = 1.00876442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14989869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.588562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00876442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.797944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62409 KachelY 39616 -0.14989869 1.00876442 -8.588562 57.797944
    Oben rechts KachelX + 1 62410 KachelY 39616 -0.14985075 1.00876442 -8.585816 57.797944
    Unten links KachelX 62409 KachelY + 1 39617 -0.14989869 1.00873888 -8.588562 57.796480
    Unten rechts KachelX + 1 62410 KachelY + 1 39617 -0.14985075 1.00873888 -8.585816 57.796480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00876442-1.00873888) × R
    2.55400000002126e-05 × 6371000     		dl = 162.715340001355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00876442-1.00873888) × R
    2.55400000002126e-05 × 6371000     		dr = 162.715340001355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14989869--0.14985075) × cos(1.00876442) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532906643614054 × 6371000     		do = 162.763405976726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14989869--0.14985075) × cos(1.00873888) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532928254725276 × 6371000     		du = 162.770006566364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00876442)-sin(1.00873888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532906643614054-0.532928254725276)×R²
    abs(-0.14985075--0.14989869)×2.16111112227857e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16111112227857e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16111112227857e-05×40589641000000     		ar = 26484.639953269m²