Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62408 / 27638
↖ ↑ ↗
← N 71.533611°
W  8.591308°		 ← 96.72 m → N 71.533611°
W  8.588562°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
N 71.532741°
W  8.591308°		 ← 96.73 m →
9 354 m²		 N 71.532741°
W  8.588562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476139068603516 y=0.210865020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476139068603516 × 217)
    floor (0.476139068603516 × 131072)
    floor (62408.5)     		tx = 62408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210865020751953 × 217)
    floor (0.210865020751953 × 131072)
    floor (27638.5)     		ty = 27638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62408 / 27638 ti = "17/62408/27638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62408/27638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62408 ÷ 217
    62408 ÷ 131072     		x = 0.47613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27638 ÷ 217
    27638 ÷ 131072     		y = 0.210861206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.0477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14994662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210861206054688 × 2 - 1) × π
    0.578277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81671262180089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14994662} λ = -0.14994662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81671262180089))-π/2
    2×atan(6.1516025296446)-π/2
    2×1.4096466802535-π/2
    2.819293360507-1.57079632675     		φ = 1.24849703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14994662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.591308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24849703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.533611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62408 KachelY 27638 -0.14994662 1.24849703 -8.591308 71.533611
    Oben rechts KachelX + 1 62409 KachelY 27638 -0.14989869 1.24849703 -8.588562 71.533611
    Unten links KachelX 62408 KachelY + 1 27639 -0.14994662 1.24848185 -8.591308 71.532741
    Unten rechts KachelX + 1 62409 KachelY + 1 27639 -0.14989869 1.24848185 -8.588562 71.532741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24849703-1.24848185) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dl = 96.7117800007298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24849703-1.24848185) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dr = 96.7117800007298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14994662--0.14989869) × cos(1.24849703) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316748301127898 × 6371000     		do = 96.7229042314695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14994662--0.14989869) × cos(1.24848185) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316762699467551 × 6371000     		du = 96.7273009376944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24849703)-sin(1.24848185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316748301127898-0.316762699467551)×R²
    abs(-0.14989869--0.14994662)×1.43983396526659e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43983396526659e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43983396526659e-05×40589641000000     		ar = 9354.45684177346m²