Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62407 / 27639
↖ ↑ ↗
← N 71.532741°
W  8.594055°		 ← 96.75 m → N 71.532741°
W  8.591308°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
N 71.531870°
W  8.594055°		 ← 96.75 m →
9 363 m²		 N 71.531870°
W  8.591308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476131439208984 y=0.210872650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476131439208984 × 217)
    floor (0.476131439208984 × 131072)
    floor (62407.5)     		tx = 62407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210872650146484 × 217)
    floor (0.210872650146484 × 131072)
    floor (27639.5)     		ty = 27639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62407 / 27639 ti = "17/62407/27639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62407/27639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62407 ÷ 217
    62407 ÷ 131072     		x = 0.476127624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27639 ÷ 217
    27639 ÷ 131072     		y = 0.210868835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476127624511719 × 2 - 1) × π
    -0.0477447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14999456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210868835449219 × 2 - 1) × π
    0.578262329101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.81666468490127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14999456} λ = -0.14999456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81666468490127))-π/2
    2×atan(6.15130764795954)-π/2
    2×1.40963908811523-π/2
    2.81927817623046-1.57079632675     		φ = 1.24848185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14999456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.594055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24848185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.532741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62407 KachelY 27639 -0.14999456 1.24848185 -8.594055 71.532741
    Oben rechts KachelX + 1 62408 KachelY 27639 -0.14994662 1.24848185 -8.591308 71.532741
    Unten links KachelX 62407 KachelY + 1 27640 -0.14999456 1.24846666 -8.594055 71.531870
    Unten rechts KachelX + 1 62408 KachelY + 1 27640 -0.14994662 1.24846666 -8.591308 71.531870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24848185-1.24846666) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dl = 96.7754899989279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24848185-1.24846666) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dr = 96.7754899989279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14999456--0.14994662) × cos(1.24848185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316762699467551 × 6371000     		do = 96.7474818892669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14999456--0.14994662) × cos(1.24846666) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316777107219211 × 6371000     		du = 96.7518823874794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24848185)-sin(1.24846666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316762699467551-0.316777107219211)×R²
    abs(-0.14994662--0.14999456)×1.44077516601171e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44077516601171e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44077516601171e-05×40589641000000     		ar = 9362.99789631259m²