Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62405 / 39659
↖ ↑ ↗
← N 57.734951°
W  8.599548°		 ← 163.01 m → N 57.734951°
W  8.596802°		 →
↑
163.03 m
↓
↑
163.03 m
↓
N 57.733485°
W  8.599548°		 ← 163.02 m →
26 577 m²		 N 57.733485°
W  8.596802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476116180419922 y=0.302577972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476116180419922 × 217)
    floor (0.476116180419922 × 131072)
    floor (62405.5)     		tx = 62405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302577972412109 × 217)
    floor (0.302577972412109 × 131072)
    floor (39659.5)     		ty = 39659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62405 / 39659 ti = "17/62405/39659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62405/39659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62405 ÷ 217
    62405 ÷ 131072     		x = 0.476112365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39659 ÷ 217
    39659 ÷ 131072     		y = 0.302574157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476112365722656 × 2 - 1) × π
    -0.0477752685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15009043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302574157714844 × 2 - 1) × π
    0.394851684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.24046315146819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15009043} λ = -0.15009043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24046315146819))-π/2
    2×atan(3.4572143079002)-π/2
    2×1.28923065838408-π/2
    2.57846131676817-1.57079632675     		φ = 1.00766499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15009043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.599548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00766499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.734951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62405 KachelY 39659 -0.15009043 1.00766499 -8.599548 57.734951
    Oben rechts KachelX + 1 62406 KachelY 39659 -0.15004250 1.00766499 -8.596802 57.734951
    Unten links KachelX 62405 KachelY + 1 39660 -0.15009043 1.00763940 -8.599548 57.733485
    Unten rechts KachelX + 1 62406 KachelY + 1 39660 -0.15004250 1.00763940 -8.596802 57.733485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00766499-1.00763940) × R
    2.55900000001308e-05 × 6371000     		dl = 163.033890000833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00766499-1.00763940) × R
    2.55900000001308e-05 × 6371000     		dr = 163.033890000833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15009043--0.15004250) × cos(1.00766499) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533836630479085 × 6371000     		do = 163.013437171459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15009043--0.15004250) × cos(1.00763940) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533858268891924 × 6371000     		du = 163.020044721129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00766499)-sin(1.00763940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533836630479085-0.533858268891924)×R²
    abs(-0.15004250--0.15009043)×2.16384128393088e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16384128393088e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16384128393088e-05×40589641000000     		ar = 26577.2534133507m²