Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62404 / 40119
↖ ↑ ↗
← N 57.054176°
W  8.602295°		 ← 166.10 m → N 57.054176°
W  8.599548°		 →
↑
166.09 m
↓
↑
166.09 m
↓
N 57.052682°
W  8.602295°		 ← 166.11 m →
27 589 m²		 N 57.052682°
W  8.599548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476108551025391 y=0.306087493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476108551025391 × 217)
    floor (0.476108551025391 × 131072)
    floor (62404.5)     		tx = 62404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306087493896484 × 217)
    floor (0.306087493896484 × 131072)
    floor (40119.5)     		ty = 40119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62404 / 40119 ti = "17/62404/40119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62404/40119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62404 ÷ 217
    62404 ÷ 131072     		x = 0.476104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40119 ÷ 217
    40119 ÷ 131072     		y = 0.306083679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15013837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306083679199219 × 2 - 1) × π
    0.387832641601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.21841217764297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15013837} λ = -0.15013837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21841217764297))-π/2
    2×atan(3.38181374880611)-π/2
    2×1.28328977260164-π/2
    2.56657954520329-1.57079632675     		φ = 0.99578322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15013837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.602295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99578322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.054176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62404 KachelY 40119 -0.15013837 0.99578322 -8.602295 57.054176
    Oben rechts KachelX + 1 62405 KachelY 40119 -0.15009043 0.99578322 -8.599548 57.054176
    Unten links KachelX 62404 KachelY + 1 40120 -0.15013837 0.99575715 -8.602295 57.052682
    Unten rechts KachelX + 1 62405 KachelY + 1 40120 -0.15009043 0.99575715 -8.599548 57.052682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99578322-0.99575715) × R
    2.60699999999892e-05 × 6371000     		dl = 166.091969999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99578322-0.99575715) × R
    2.60699999999892e-05 × 6371000     		dr = 166.091969999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15013837--0.15009043) × cos(0.99578322) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543845789758317 × 6371000     		do = 166.104502782806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15013837--0.15009043) × cos(0.99575715) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543867667131 × 6371000     		du = 166.111184695547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99578322)-sin(0.99575715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543845789758317-0.543867667131)×R²
    abs(-0.15009043--0.15013837)×2.18773726835542e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18773726835542e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18773726835542e-05×40589641000000     		ar = 27589.1790006502m²