Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62404 / 39675
↖ ↑ ↗
← N 57.711484°
W  8.602295°		 ← 163.15 m → N 57.711484°
W  8.599548°		 →
↑
163.16 m
↓
↑
163.16 m
↓
N 57.710017°
W  8.602295°		 ← 163.16 m →
26 621 m²		 N 57.710017°
W  8.599548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476108551025391 y=0.302700042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476108551025391 × 217)
    floor (0.476108551025391 × 131072)
    floor (62404.5)     		tx = 62404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302700042724609 × 217)
    floor (0.302700042724609 × 131072)
    floor (39675.5)     		ty = 39675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62404 / 39675 ti = "17/62404/39675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62404/39675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62404 ÷ 217
    62404 ÷ 131072     		x = 0.476104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39675 ÷ 217
    39675 ÷ 131072     		y = 0.302696228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15013837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302696228027344 × 2 - 1) × π
    0.394607543945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.23969616107427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15013837} λ = -0.15013837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23969616107427))-π/2
    2×atan(3.45456367437148)-π/2
    2×1.28902586820411-π/2
    2.57805173640823-1.57079632675     		φ = 1.00725541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15013837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.602295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00725541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.711484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62404 KachelY 39675 -0.15013837 1.00725541 -8.602295 57.711484
    Oben rechts KachelX + 1 62405 KachelY 39675 -0.15009043 1.00725541 -8.599548 57.711484
    Unten links KachelX 62404 KachelY + 1 39676 -0.15013837 1.00722980 -8.602295 57.710017
    Unten rechts KachelX + 1 62405 KachelY + 1 39676 -0.15009043 1.00722980 -8.599548 57.710017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00725541-1.00722980) × R
    2.56100000000092e-05 × 6371000     		dl = 163.161310000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00725541-1.00722980) × R
    2.56100000000092e-05 × 6371000     		dr = 163.161310000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15013837--0.15009043) × cos(1.00725541) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534182921476703 × 6371000     		do = 163.153214087371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15013837--0.15009043) × cos(1.00722980) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534204571199495 × 6371000     		du = 163.159826469976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00725541)-sin(1.00722980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534182921476703-0.534204571199495)×R²
    abs(-0.15009043--0.15013837)×2.16497227928381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16497227928381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16497227928381e-05×40589641000000     		ar = 26620.8315852056m²