Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62403 / 40129
↖ ↑ ↗
← N 57.039235°
W  8.605042°		 ← 166.17 m → N 57.039235°
W  8.602295°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.037741°
W  8.605042°		 ← 166.18 m →
27 611 m²		 N 57.037741°
W  8.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476100921630859 y=0.306163787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476100921630859 × 217)
    floor (0.476100921630859 × 131072)
    floor (62403.5)     		tx = 62403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306163787841797 × 217)
    floor (0.306163787841797 × 131072)
    floor (40129.5)     		ty = 40129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62403 / 40129 ti = "17/62403/40129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62403/40129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62403 ÷ 217
    62403 ÷ 131072     		x = 0.476097106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40129 ÷ 217
    40129 ÷ 131072     		y = 0.306159973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476097106933594 × 2 - 1) × π
    -0.0478057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15018631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306159973144531 × 2 - 1) × π
    0.387680053710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21793280864677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15018631} λ = -0.15018631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21793280864677))-π/2
    2×atan(3.38019300064325)-π/2
    2×1.28315939497528-π/2
    2.56631878995057-1.57079632675     		φ = 0.99552246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15018631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.605042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99552246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.039235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62403 KachelY 40129 -0.15018631 0.99552246 -8.605042 57.039235
    Oben rechts KachelX + 1 62404 KachelY 40129 -0.15013837 0.99552246 -8.602295 57.039235
    Unten links KachelX 62403 KachelY + 1 40130 -0.15018631 0.99549638 -8.605042 57.037741
    Unten rechts KachelX + 1 62404 KachelY + 1 40130 -0.15013837 0.99549638 -8.602295 57.037741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99552246-0.99549638) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dl = 166.155680000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99552246-0.99549638) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dr = 166.155680000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15018631--0.15013837) × cos(0.99552246) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544064597192309 × 6371000     		do = 166.17133220525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15018631--0.15013837) × cos(0.99549638) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544086479257396 × 6371000     		du = 166.178015551172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99552246)-sin(0.99549638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544064597192309-0.544086479257396)×R²
    abs(-0.15013837--0.15018631)×2.18820650861318e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18820650861318e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18820650861318e-05×40589641000000     		ar = 27610.8659386202m²