Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6240 / 10486
↖ ↑ ↗
← S 44.933697°
W 42.890625°		 ← 1 729.61 m → S 44.933697°
W 42.868652°		 →
↑
1 729.41 m
↓
↑
1 729.41 m
↓
S 44.949249°
W 42.890625°		 ← 1 729.14 m →
2 990 799 m²		 S 44.949249°
W 42.868652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380889892578125 y=0.640045166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380889892578125 × 214)
    floor (0.380889892578125 × 16384)
    floor (6240.5)     		tx = 6240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640045166015625 × 214)
    floor (0.640045166015625 × 16384)
    floor (10486.5)     		ty = 10486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6240 / 10486 ti = "14/6240/10486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6240/10486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6240 ÷ 214
    6240 ÷ 16384     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10486 ÷ 214
    10486 ÷ 16384     		y = 0.6400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87973798182727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87973798182727))-π/2
    2×atan(0.414891606581577)-π/2
    2×0.393277689860518-π/2
    0.786555379721036-1.57079632675     		φ = -0.78424095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78424095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.933697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6240 KachelY 10486 -0.74858262 -0.78424095 -42.890625 -44.933697
    Oben rechts KachelX + 1 6241 KachelY 10486 -0.74819913 -0.78424095 -42.868652 -44.933697
    Unten links KachelX 6240 KachelY + 1 10487 -0.74858262 -0.78451240 -42.890625 -44.949249
    Unten rechts KachelX + 1 6241 KachelY + 1 10487 -0.74819913 -0.78451240 -42.868652 -44.949249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78424095--0.78451240) × R
    0.000271449999999951 × 6371000     		dl = 1729.40794999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78424095--0.78451240) × R
    0.000271449999999951 × 6371000     		dr = 1729.40794999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74819913) × cos(-0.78424095) × R
    0.000383489999999931 × 0.707924580986091 × 6371000     		do = 1729.61180646946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74819913) × cos(-0.78451240) × R
    0.000383489999999931 × 0.707732833019741 × 6371000     		du = 1729.14332500212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78424095)-sin(-0.78451240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707924580986091-0.707732833019741)×R²
    abs(-0.74819913--0.74858262)×0.000191747966349909×R²
    0.000383489999999931×0.000191747966349909×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191747966349909×40589641000000     		ar = 2990799.32909932m²