Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 624 / 2416
↖ ↑ ↗
← S 30.751278°
W125.156250°		 ← 8 398.86 m → S 30.751278°
W125.068359°		 →
↑
8 395.51 m
↓
↑
8 395.51 m
↓
S 30.826781°
W125.156250°		 ← 8 392.26 m →
70 485 038 m²		 S 30.826781°
W125.068359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1524658203125 y=0.5899658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1524658203125 × 212)
    floor (0.1524658203125 × 4096)
    floor (624.5)     		tx = 624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5899658203125 × 212)
    floor (0.5899658203125 × 4096)
    floor (2416.5)     		ty = 2416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 624 / 2416 ti = "12/624/2416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/624/2416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 624 ÷ 212
    624 ÷ 4096     		x = 0.15234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2416 ÷ 212
    2416 ÷ 4096     		y = 0.58984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15234375 × 2 - 1) × π
    -0.6953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.18438864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58984375 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18438864} λ = -2.18438864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564504929925781))-π/2
    2×atan(0.568641594520013)-π/2
    2×0.517042640208852-π/2
    1.0340852804177-1.57079632675     		φ = -0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18438864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 624 KachelY 2416 -2.18438864 -0.53671105 -125.156250 -30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 625 KachelY 2416 -2.18285466 -0.53671105 -125.068359 -30.751278
    Unten links KachelX 624 KachelY + 1 2417 -2.18438864 -0.53802882 -125.156250 -30.826781
    Unten rechts KachelX + 1 625 KachelY + 1 2417 -2.18285466 -0.53802882 -125.068359 -30.826781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53671105--0.53802882) × R
    0.00131777 × 6371000     		dl = 8395.51266999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53671105--0.53802882) × R
    0.00131777 × 6371000     		dr = 8395.51266999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18438864--2.18285466) × cos(-0.53671105) × R
    0.00153398000000005 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 8398.85586924918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18438864--2.18285466) × cos(-0.53802882) × R
    0.00153398000000005 × 0.858720468956848 × 6371000     		du = 8392.26361908684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53671105)-sin(-0.53802882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.858720468956848)×R²
    abs(-2.18285466--2.18438864)×0.000674537932532804×R²
    0.00153398000000005×0.000674537932532804×6371000²
    0.00153398000000005×0.000674537932532804×40589641000000     		ar = 70485038.4037868m²