Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62398 / 25785
↖ ↑ ↗
← N 73.079440°
W  8.618774°		 ← 88.89 m → N 73.079440°
W  8.616028°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.078641°
W  8.618774°		 ← 88.90 m →
7 901 m²		 N 73.078641°
W  8.616028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476062774658203 y=0.196727752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476062774658203 × 217)
    floor (0.476062774658203 × 131072)
    floor (62398.5)     		tx = 62398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196727752685547 × 217)
    floor (0.196727752685547 × 131072)
    floor (25785.5)     		ty = 25785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62398 / 25785 ti = "17/62398/25785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62398/25785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62398 ÷ 217
    62398 ÷ 131072     		x = 0.476058959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25785 ÷ 217
    25785 ÷ 131072     		y = 0.196723937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476058959960938 × 2 - 1) × π
    -0.047882080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15042599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196723937988281 × 2 - 1) × π
    0.606552124023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.90553969679685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15042599} λ = -0.15042599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90553969679685))-π/2
    2×atan(6.72303504917417)-π/2
    2×1.42313658578994-π/2
    2.84627317157987-1.57079632675     		φ = 1.27547684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15042599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.618774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27547684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.079440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62398 KachelY 25785 -0.15042599 1.27547684 -8.618774 73.079440
    Oben rechts KachelX + 1 62399 KachelY 25785 -0.15037805 1.27547684 -8.616028 73.079440
    Unten links KachelX 62398 KachelY + 1 25786 -0.15042599 1.27546289 -8.618774 73.078641
    Unten rechts KachelX + 1 62399 KachelY + 1 25786 -0.15037805 1.27546289 -8.616028 73.078641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27547684-1.27546289) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27547684-1.27546289) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15042599--0.15037805) × cos(1.27547684) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.291045520930071 × 6371000     		do = 88.8927936037457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15042599--0.15037805) × cos(1.27546289) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.291058866995175 × 6371000     		du = 88.896869835556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27547684)-sin(1.27546289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291045520930071-0.291058866995175)×R²
    abs(-0.15037805--0.15042599)×1.33460651035033e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.33460651035033e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.33460651035033e-05×40589641000000     		ar = 7900.56817186958m²