Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62394 / 76119
↖ ↑ ↗
← S 27.894922°
W  8.629761°		 ← 269.94 m → S 27.894922°
W  8.627014°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.897349°
W  8.629761°		 ← 269.93 m →
72 866 m²		 S 27.897349°
W  8.627014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476032257080078 y=0.580745697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476032257080078 × 217)
    floor (0.476032257080078 × 131072)
    floor (62394.5)     		tx = 62394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580745697021484 × 217)
    floor (0.580745697021484 × 131072)
    floor (76119.5)     		ty = 76119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62394 / 76119 ti = "17/62394/76119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62394/76119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62394 ÷ 217
    62394 ÷ 131072     		x = 0.476028442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76119 ÷ 217
    76119 ÷ 131072     		y = 0.580741882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476028442382812 × 2 - 1) × π
    -0.047943115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15061774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580741882324219 × 2 - 1) × π
    -0.161483764648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.507316208679054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15061774} λ = -0.15061774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507316208679054))-π/2
    2×atan(0.602109348176426)-π/2
    2×0.541969048334073-π/2
    1.08393809666815-1.57079632675     		φ = -0.48685823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15061774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.629761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48685823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.894922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62394 KachelY 76119 -0.15061774 -0.48685823 -8.629761 -27.894922
    Oben rechts KachelX + 1 62395 KachelY 76119 -0.15056980 -0.48685823 -8.627014 -27.894922
    Unten links KachelX 62394 KachelY + 1 76120 -0.15061774 -0.48690060 -8.629761 -27.897349
    Unten rechts KachelX + 1 62395 KachelY + 1 76120 -0.15056980 -0.48690060 -8.627014 -27.897349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48685823--0.48690060) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48685823--0.48690060) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15061774--0.15056980) × cos(-0.48685823) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883807099848175 × 6371000     		do = 269.937437488362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15061774--0.15056980) × cos(-0.48690060) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883787276187528 × 6371000     		du = 269.931382832139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48685823)-sin(-0.48690060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883807099848175-0.883787276187528)×R²
    abs(-0.15056980--0.15061774)×1.98236606465674e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98236606465674e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98236606465674e-05×40589641000000     		ar = 72865.8976374741m²