Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62393 / 40128
↖ ↑ ↗
← N 57.040730°
W  8.632508°		 ← 166.16 m → N 57.040730°
W  8.629761°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.039235°
W  8.632508°		 ← 166.17 m →
27 610 m²		 N 57.039235°
W  8.629761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476024627685547 y=0.306156158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476024627685547 × 217)
    floor (0.476024627685547 × 131072)
    floor (62393.5)     		tx = 62393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306156158447266 × 217)
    floor (0.306156158447266 × 131072)
    floor (40128.5)     		ty = 40128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62393 / 40128 ti = "17/62393/40128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62393/40128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62393 ÷ 217
    62393 ÷ 131072     		x = 0.476020812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40128 ÷ 217
    40128 ÷ 131072     		y = 0.30615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476020812988281 × 2 - 1) × π
    -0.0479583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15066568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30615234375 × 2 - 1) × π
    0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15066568} λ = -0.15066568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21798074554639))-π/2
    2×atan(3.38035504049963)-π/2
    2×1.28317243509796-π/2
    2.56634487019593-1.57079632675     		φ = 0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15066568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.632508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62393 KachelY 40128 -0.15066568 0.99554854 -8.632508 57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 62394 KachelY 40128 -0.15061774 0.99554854 -8.629761 57.040730
    Unten links KachelX 62393 KachelY + 1 40129 -0.15066568 0.99552246 -8.632508 57.039235
    Unten rechts KachelX + 1 62394 KachelY + 1 40129 -0.15061774 0.99552246 -8.629761 57.039235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99554854-0.99552246) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dl = 166.155680000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99554854-0.99552246) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dr = 166.155680000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15066568--0.15061774) × cos(0.99554854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 166.164648746304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15066568--0.15061774) × cos(0.99552246) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544064597192309 × 6371000     		du = 166.17133220525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99554854)-sin(0.99552246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.544064597192309)×R²
    abs(-0.15061774--0.15066568)×2.18824351405633e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18824351405633e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18824351405633e-05×40589641000000     		ar = 27609.7554534051m²