Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62392 / 40135
↖ ↑ ↗
← N 57.030269°
W  8.635254°		 ← 166.18 m → N 57.030269°
W  8.632508°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.028774°
W  8.635254°		 ← 166.18 m →
27 622 m²		 N 57.028774°
W  8.632508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476016998291016 y=0.306209564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476016998291016 × 217)
    floor (0.476016998291016 × 131072)
    floor (62392.5)     		tx = 62392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306209564208984 × 217)
    floor (0.306209564208984 × 131072)
    floor (40135.5)     		ty = 40135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62392 / 40135 ti = "17/62392/40135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62392/40135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62392 ÷ 217
    62392 ÷ 131072     		x = 0.47601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40135 ÷ 217
    40135 ÷ 131072     		y = 0.306205749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.0479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15071361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306205749511719 × 2 - 1) × π
    0.387588500976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.21764518724905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15071361} λ = -0.15071361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21764518724905))-π/2
    2×atan(3.37922092460948)-π/2
    2×1.28308114322429-π/2
    2.56616228644859-1.57079632675     		φ = 0.99536596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15071361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99536596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.030269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62392 KachelY 40135 -0.15071361 0.99536596 -8.635254 57.030269
    Oben rechts KachelX + 1 62393 KachelY 40135 -0.15066568 0.99536596 -8.632508 57.030269
    Unten links KachelX 62392 KachelY + 1 40136 -0.15071361 0.99533987 -8.635254 57.028774
    Unten rechts KachelX + 1 62393 KachelY + 1 40136 -0.15066568 0.99533987 -8.632508 57.028774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99536596-0.99533987) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99536596-0.99533987) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15071361--0.15066568) × cos(0.99536596) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544195900810652 × 6371000     		do = 166.176764989225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15071361--0.15066568) × cos(0.99533987) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544217789044254 × 6371000     		du = 166.183448824671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99536596)-sin(0.99533987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544195900810652-0.544217789044254)×R²
    abs(-0.15066568--0.15071361)×2.18882336027182e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18882336027182e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18882336027182e-05×40589641000000     		ar = 27622.3560018561m²