Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62390 / 76123
↖ ↑ ↗
← S 27.904631°
W  8.640747°		 ← 269.91 m → S 27.904631°
W  8.638001°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
S 27.907058°
W  8.640747°		 ← 269.91 m →
72 842 m²		 S 27.907058°
W  8.638001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476001739501953 y=0.580776214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476001739501953 × 217)
    floor (0.476001739501953 × 131072)
    floor (62390.5)     		tx = 62390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580776214599609 × 217)
    floor (0.580776214599609 × 131072)
    floor (76123.5)     		ty = 76123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62390 / 76123 ti = "17/62390/76123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62390/76123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62390 ÷ 217
    62390 ÷ 131072     		x = 0.475997924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76123 ÷ 217
    76123 ÷ 131072     		y = 0.580772399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475997924804688 × 2 - 1) × π
    -0.048004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15080949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580772399902344 × 2 - 1) × π
    -0.161544799804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.507507956277535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15080949} λ = -0.15080949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507507956277535))-π/2
    2×atan(0.601993906223103)-π/2
    2×0.541884318190629-π/2
    1.08376863638126-1.57079632675     		φ = -0.48702769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15080949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.640747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48702769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.904631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62390 KachelY 76123 -0.15080949 -0.48702769 -8.640747 -27.904631
    Oben rechts KachelX + 1 62391 KachelY 76123 -0.15076155 -0.48702769 -8.638001 -27.904631
    Unten links KachelX 62390 KachelY + 1 76124 -0.15080949 -0.48707005 -8.640747 -27.907058
    Unten rechts KachelX + 1 62391 KachelY + 1 76124 -0.15076155 -0.48707005 -8.638001 -27.907058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48702769--0.48707005) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48702769--0.48707005) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15080949--0.15076155) × cos(-0.48702769) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883727805046217 × 6371000     		do = 269.913218814796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15080949--0.15076155) × cos(-0.48707005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		du = 269.907163650036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48702769)-sin(-0.48707005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883727805046217-0.88370797972056)×R²
    abs(-0.15076155--0.15080949)×1.98253256568082e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98253256568082e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98253256568082e-05×40589641000000     		ar = 72842.1640193711m²