Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62390 / 40150
↖ ↑ ↗
← N 57.007842°
W  8.640747°		 ← 166.31 m → N 57.007842°
W  8.638001°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 57.006346°
W  8.640747°		 ← 166.32 m →
27 666 m²		 N 57.006346°
W  8.638001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476001739501953 y=0.306324005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476001739501953 × 217)
    floor (0.476001739501953 × 131072)
    floor (62390.5)     		tx = 62390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306324005126953 × 217)
    floor (0.306324005126953 × 131072)
    floor (40150.5)     		ty = 40150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62390 / 40150 ti = "17/62390/40150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62390/40150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62390 ÷ 217
    62390 ÷ 131072     		x = 0.475997924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40150 ÷ 217
    40150 ÷ 131072     		y = 0.306320190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475997924804688 × 2 - 1) × π
    -0.048004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15080949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306320190429688 × 2 - 1) × π
    0.387359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21692613375475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15080949} λ = -0.15080949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21692613375475))-π/2
    2×atan(3.37679195737896)-π/2
    2×1.28288543122089-π/2
    2.56577086244177-1.57079632675     		φ = 0.99497454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15080949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.640747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99497454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.007842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62390 KachelY 40150 -0.15080949 0.99497454 -8.640747 57.007842
    Oben rechts KachelX + 1 62391 KachelY 40150 -0.15076155 0.99497454 -8.638001 57.007842
    Unten links KachelX 62390 KachelY + 1 40151 -0.15080949 0.99494843 -8.640747 57.006346
    Unten rechts KachelX + 1 62391 KachelY + 1 40151 -0.15076155 0.99494843 -8.638001 57.006346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99497454-0.99494843) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dl = 166.346809999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99497454-0.99494843) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dr = 166.346809999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15080949--0.15076155) × cos(0.99497454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544524244123602 × 6371000     		do = 166.311720209379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15080949--0.15076155) × cos(0.99494843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544546143572626 × 6371000     		du = 166.318408864803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99497454)-sin(0.99494843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544524244123602-0.544546143572626)×R²
    abs(-0.15076155--0.15080949)×2.18994490231994e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18994490231994e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18994490231994e-05×40589641000000     		ar = 27665.980442293m²