Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6239 / 10485
↖ ↑ ↗
← S 44.918139°
W 42.912598°		 ← 1 730.13 m → S 44.918139°
W 42.890625°		 →
↑
1 729.92 m
↓
↑
1 729.92 m
↓
S 44.933697°
W 42.912598°		 ← 1 729.66 m →
2 992 569 m²		 S 44.933697°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380828857421875 y=0.639984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380828857421875 × 214)
    floor (0.380828857421875 × 16384)
    floor (6239.5)     		tx = 6239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639984130859375 × 214)
    floor (0.639984130859375 × 16384)
    floor (10485.5)     		ty = 10485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6239 / 10485 ti = "14/6239/10485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6239/10485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6239 ÷ 214
    6239 ÷ 16384     		x = 0.38079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10485 ÷ 214
    10485 ÷ 16384     		y = 0.63995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.2384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74896612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.2799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87935448663031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74896612} λ = -0.74896612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87935448663031))-π/2
    2×atan(0.415050746032618)-π/2
    2×0.393413451082737-π/2
    0.786826902165474-1.57079632675     		φ = -0.78396942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74896612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78396942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.918139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6239 KachelY 10485 -0.74896612 -0.78396942 -42.912598 -44.918139
    Oben rechts KachelX + 1 6240 KachelY 10485 -0.74858262 -0.78396942 -42.890625 -44.918139
    Unten links KachelX 6239 KachelY + 1 10486 -0.74896612 -0.78424095 -42.912598 -44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 6240 KachelY + 1 10486 -0.74858262 -0.78424095 -42.890625 -44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78396942--0.78424095) × R
    0.00027153000000002 × 6371000     		dl = 1729.91763000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78396942--0.78424095) × R
    0.00027153000000002 × 6371000     		dr = 1729.91763000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74896612--0.74858262) × cos(-0.78396942) × R
    0.000383499999999981 × 0.708116333276611 × 6371000     		do = 1730.12541259349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74896612--0.74858262) × cos(-0.78424095) × R
    0.000383499999999981 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 1729.65690834474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78396942)-sin(-0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708116333276611-0.707924580986091)×R²
    abs(-0.74858262--0.74896612)×0.000191752290520042×R²
    0.000383499999999981×0.000191752290520042×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191752290520042×40589641000000     		ar = 2992569.23486329m²