Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62388 / 40146
↖ ↑ ↗
← N 57.013824°
W  8.646240°		 ← 166.28 m → N 57.013824°
W  8.643493°		 →
↑
166.28 m
↓
↑
166.28 m
↓
N 57.012328°
W  8.646240°		 ← 166.29 m →
27 651 m²		 N 57.012328°
W  8.643493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475986480712891 y=0.306293487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475986480712891 × 217)
    floor (0.475986480712891 × 131072)
    floor (62388.5)     		tx = 62388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306293487548828 × 217)
    floor (0.306293487548828 × 131072)
    floor (40146.5)     		ty = 40146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62388 / 40146 ti = "17/62388/40146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62388/40146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62388 ÷ 217
    62388 ÷ 131072     		x = 0.475982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40146 ÷ 217
    40146 ÷ 131072     		y = 0.306289672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.04803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15090536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306289672851562 × 2 - 1) × π
    0.387420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21711788135323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15090536} λ = -0.15090536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21711788135323))-π/2
    2×atan(3.37743951120882)-π/2
    2×1.28293763263138-π/2
    2.56587526526277-1.57079632675     		φ = 0.99507894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15090536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99507894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.013824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62388 KachelY 40146 -0.15090536 0.99507894 -8.646240 57.013824
    Oben rechts KachelX + 1 62389 KachelY 40146 -0.15085742 0.99507894 -8.643493 57.013824
    Unten links KachelX 62388 KachelY + 1 40147 -0.15090536 0.99505284 -8.646240 57.012328
    Unten rechts KachelX + 1 62389 KachelY + 1 40147 -0.15085742 0.99505284 -8.643493 57.012328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99507894-0.99505284) × R
    2.60999999999179e-05 × 6371000     		dl = 166.283099999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99507894-0.99505284) × R
    2.60999999999179e-05 × 6371000     		dr = 166.283099999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15090536--0.15085742) × cos(0.99507894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544436676167541 × 6371000     		do = 166.284974701599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15090536--0.15085742) × cos(0.99505284) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544458568712907 × 6371000     		du = 166.291661248468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99507894)-sin(0.99505284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544436676167541-0.544458568712907)×R²
    abs(-0.15085742--0.15090536)×2.189254536622e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.189254536622e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.189254536622e-05×40589641000000     		ar = 27650.9370081378m²