Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62385 / 25393
↖ ↑ ↗
← N 73.389996°
W  8.654480°		 ← 87.31 m → N 73.389996°
W  8.651733°		 →
↑
87.28 m
↓
↑
87.28 m
↓
N 73.389211°
W  8.654480°		 ← 87.31 m →
7 621 m²		 N 73.389211°
W  8.651733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475963592529297 y=0.193737030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475963592529297 × 217)
    floor (0.475963592529297 × 131072)
    floor (62385.5)     		tx = 62385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193737030029297 × 217)
    floor (0.193737030029297 × 131072)
    floor (25393.5)     		ty = 25393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62385 / 25393 ti = "17/62385/25393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62385/25393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62385 ÷ 217
    62385 ÷ 131072     		x = 0.475959777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25393 ÷ 217
    25393 ÷ 131072     		y = 0.193733215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475959777832031 × 2 - 1) × π
    -0.0480804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15104917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193733215332031 × 2 - 1) × π
    0.612533569335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.92433096144791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15104917} λ = -0.15104917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92433096144791))-π/2
    2×atan(6.85056384104472)-π/2
    2×1.42584669514033-π/2
    2.85169339028065-1.57079632675     		φ = 1.28089706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15104917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.654480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28089706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.389996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62385 KachelY 25393 -0.15104917 1.28089706 -8.654480 73.389996
    Oben rechts KachelX + 1 62386 KachelY 25393 -0.15100123 1.28089706 -8.651733 73.389996
    Unten links KachelX 62385 KachelY + 1 25394 -0.15104917 1.28088336 -8.654480 73.389211
    Unten rechts KachelX + 1 62386 KachelY + 1 25394 -0.15100123 1.28088336 -8.651733 73.389211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28089706-1.28088336) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dl = 87.2827000000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28089706-1.28088336) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dr = 87.2827000000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15104917--0.15100123) × cos(1.28089706) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.285855696677344 × 6371000     		do = 87.307687690937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15104917--0.15100123) × cos(1.28088336) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.285868824986172 × 6371000     		du = 87.3116974143759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28089706)-sin(1.28088336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285855696677344-0.285868824986172)×R²
    abs(-0.15100123--0.15104917)×1.31283088283252e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.31283088283252e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.31283088283252e-05×40589641000000     		ar = 7620.62570210166m²