Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62384 / 38960
↖ ↑ ↗
← N 58.745407°
W  8.657227°		 ← 158.47 m → N 58.745407°
W  8.654480°		 →
↑
158.45 m
↓
↑
158.45 m
↓
N 58.743982°
W  8.657227°		 ← 158.47 m →
25 109 m²		 N 58.743982°
W  8.654480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475955963134766 y=0.297245025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475955963134766 × 217)
    floor (0.475955963134766 × 131072)
    floor (62384.5)     		tx = 62384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297245025634766 × 217)
    floor (0.297245025634766 × 131072)
    floor (38960.5)     		ty = 38960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62384 / 38960 ti = "17/62384/38960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62384/38960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62384 ÷ 217
    62384 ÷ 131072     		x = 0.4759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38960 ÷ 217
    38960 ÷ 131072     		y = 0.2972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15109711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2972412109375 × 2 - 1) × π
    0.405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27397104430261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15109711} λ = -0.15109711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27397104430261))-π/2
    2×atan(3.57502097872155)-π/2
    2×1.29804854940088-π/2
    2.59609709880175-1.57079632675     		φ = 1.02530077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15109711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.657227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02530077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.745407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62384 KachelY 38960 -0.15109711 1.02530077 -8.657227 58.745407
    Oben rechts KachelX + 1 62385 KachelY 38960 -0.15104917 1.02530077 -8.654480 58.745407
    Unten links KachelX 62384 KachelY + 1 38961 -0.15109711 1.02527590 -8.657227 58.743982
    Unten rechts KachelX + 1 62385 KachelY + 1 38961 -0.15104917 1.02527590 -8.654480 58.743982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02530077-1.02527590) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dl = 158.446770000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02530077-1.02527590) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dr = 158.446770000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15109711--0.15104917) × cos(1.02530077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518841790970962 × 6371000     		do = 158.467637950219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15109711--0.15104917) × cos(1.02527590) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518863051434372 × 6371000     		du = 158.474131442989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02530077)-sin(1.02527590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518841790970962-0.518863051434372)×R²
    abs(-0.15104917--0.15109711)×2.12604634097779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12604634097779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12604634097779e-05×40589641000000     		ar = 25109.19982051m²