Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62383 / 39759
↖ ↑ ↗
← N 57.588031°
W  8.659973°		 ← 163.68 m → N 57.588031°
W  8.657227°		 →
↑
163.67 m
↓
↑
163.67 m
↓
N 57.586559°
W  8.659973°		 ← 163.68 m →
26 789 m²		 N 57.586559°
W  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475948333740234 y=0.303340911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475948333740234 × 217)
    floor (0.475948333740234 × 131072)
    floor (62383.5)     		tx = 62383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303340911865234 × 217)
    floor (0.303340911865234 × 131072)
    floor (39759.5)     		ty = 39759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62383 / 39759 ti = "17/62383/39759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62383/39759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62383 ÷ 217
    62383 ÷ 131072     		x = 0.475944519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39759 ÷ 217
    39759 ÷ 131072     		y = 0.303337097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475944519042969 × 2 - 1) × π
    -0.0481109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15114504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303337097167969 × 2 - 1) × π
    0.393325805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.23566946150619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15114504} λ = -0.15114504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23566946150619))-π/2
    2×atan(3.44068115344443)-π/2
    2×1.28794853936682-π/2
    2.57589707873363-1.57079632675     		φ = 1.00510075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15114504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.659973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00510075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.588031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62383 KachelY 39759 -0.15114504 1.00510075 -8.659973 57.588031
    Oben rechts KachelX + 1 62384 KachelY 39759 -0.15109711 1.00510075 -8.657227 57.588031
    Unten links KachelX 62383 KachelY + 1 39760 -0.15114504 1.00507506 -8.659973 57.586559
    Unten rechts KachelX + 1 62384 KachelY + 1 39760 -0.15109711 1.00507506 -8.657227 57.586559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00510075-1.00507506) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dl = 163.670989999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00510075-1.00507506) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dr = 163.670989999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15114504--0.15109711) × cos(1.00510075) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53600316267117 × 6371000     		do = 163.675013839694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15114504--0.15109711) × cos(1.00507506) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536024850402647 × 6371000     		du = 163.681636449404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00510075)-sin(1.00507506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53600316267117-0.536024850402647)×R²
    abs(-0.15109711--0.15114504)×2.16877314775932e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16877314775932e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16877314775932e-05×40589641000000     		ar = 26789.3935192906m²