Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62382 / 76104
↖ ↑ ↗
← S 27.858504°
W  8.662720°		 ← 270.03 m → S 27.858504°
W  8.659973°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
S 27.860932°
W  8.662720°		 ← 270.02 m →
72 908 m²		 S 27.860932°
W  8.659973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475940704345703 y=0.580631256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475940704345703 × 217)
    floor (0.475940704345703 × 131072)
    floor (62382.5)     		tx = 62382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580631256103516 × 217)
    floor (0.580631256103516 × 131072)
    floor (76104.5)     		ty = 76104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62382 / 76104 ti = "17/62382/76104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62382/76104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62382 ÷ 217
    62382 ÷ 131072     		x = 0.475936889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76104 ÷ 217
    76104 ÷ 131072     		y = 0.58062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475936889648438 × 2 - 1) × π
    -0.048126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15119298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.1612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506597155184753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15119298} λ = -0.15119298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506597155184753))-π/2
    2×atan(0.602542452701183)-π/2
    2×0.542286854057928-π/2
    1.08457370811586-1.57079632675     		φ = -0.48622262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15119298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.662720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48622262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.858504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62382 KachelY 76104 -0.15119298 -0.48622262 -8.662720 -27.858504
    Oben rechts KachelX + 1 62383 KachelY 76104 -0.15114504 -0.48622262 -8.659973 -27.858504
    Unten links KachelX 62382 KachelY + 1 76105 -0.15119298 -0.48626500 -8.662720 -27.860932
    Unten rechts KachelX + 1 62383 KachelY + 1 76105 -0.15114504 -0.48626500 -8.659973 -27.860932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48622262--0.48626500) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48622262--0.48626500) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15119298--0.15114504) × cos(-0.48622262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884104292380278 × 6371000     		do = 270.028207737402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15119298--0.15114504) × cos(-0.48626500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884084487851725 × 6371000     		du = 270.022158924613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48622262)-sin(-0.48626500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884104292380278-0.884084487851725)×R²
    abs(-0.15114504--0.15119298)×1.98045285532134e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98045285532134e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98045285532134e-05×40589641000000     		ar = 72907.6041853146m²