Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62382 / 38957
↖ ↑ ↗
← N 58.749682°
W  8.662720°		 ← 158.45 m → N 58.749682°
W  8.659973°		 →
↑
158.45 m
↓
↑
158.45 m
↓
N 58.748257°
W  8.662720°		 ← 158.45 m →
25 106 m²		 N 58.748257°
W  8.659973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475940704345703 y=0.297222137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475940704345703 × 217)
    floor (0.475940704345703 × 131072)
    floor (62382.5)     		tx = 62382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297222137451172 × 217)
    floor (0.297222137451172 × 131072)
    floor (38957.5)     		ty = 38957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62382 / 38957 ti = "17/62382/38957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62382/38957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62382 ÷ 217
    62382 ÷ 131072     		x = 0.475936889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38957 ÷ 217
    38957 ÷ 131072     		y = 0.297218322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475936889648438 × 2 - 1) × π
    -0.048126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15119298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297218322753906 × 2 - 1) × π
    0.405563354492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.27411485500147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15119298} λ = -0.15119298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27411485500147))-π/2
    2×atan(3.57553514195714)-π/2
    2×1.29808585460781-π/2
    2.59617170921562-1.57079632675     		φ = 1.02537538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15119298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.662720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02537538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.749682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62382 KachelY 38957 -0.15119298 1.02537538 -8.662720 58.749682
    Oben rechts KachelX + 1 62383 KachelY 38957 -0.15114504 1.02537538 -8.659973 58.749682
    Unten links KachelX 62382 KachelY + 1 38958 -0.15119298 1.02535051 -8.662720 58.748257
    Unten rechts KachelX + 1 62383 KachelY + 1 38958 -0.15114504 1.02535051 -8.659973 58.748257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02537538-1.02535051) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dl = 158.446770000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02537538-1.02535051) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dr = 158.446770000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15119298--0.15114504) × cos(1.02537538) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518778007655311 × 6371000     		do = 158.448156883837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15119298--0.15114504) × cos(1.02535051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518799269081418 × 6371000     		du = 158.454650670639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02537538)-sin(1.02535051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518778007655311-0.518799269081418)×R²
    abs(-0.15114504--0.15119298)×2.12614261076993e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12614261076993e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12614261076993e-05×40589641000000     		ar = 25106.1131317229m²