Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62381 / 76110
↖ ↑ ↗
← S 27.873073°
W  8.665466°		 ← 269.99 m → S 27.873073°
W  8.662720°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.875500°
W  8.665466°		 ← 269.99 m →
72 881 m²		 S 27.875500°
W  8.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475933074951172 y=0.580677032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475933074951172 × 217)
    floor (0.475933074951172 × 131072)
    floor (62381.5)     		tx = 62381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580677032470703 × 217)
    floor (0.580677032470703 × 131072)
    floor (76110.5)     		ty = 76110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62381 / 76110 ti = "17/62381/76110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62381/76110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62381 ÷ 217
    62381 ÷ 131072     		x = 0.475929260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76110 ÷ 217
    76110 ÷ 131072     		y = 0.580673217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475929260253906 × 2 - 1) × π
    -0.0481414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15124092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580673217773438 × 2 - 1) × π
    -0.161346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506884776582474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15124092} λ = -0.15124092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506884776582474))-π/2
    2×atan(0.602369173519346)-π/2
    2×0.542159718946887-π/2
    1.08431943789377-1.57079632675     		φ = -0.48647689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15124092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.665466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48647689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.873073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62381 KachelY 76110 -0.15124092 -0.48647689 -8.665466 -27.873073
    Oben rechts KachelX + 1 62382 KachelY 76110 -0.15119298 -0.48647689 -8.662720 -27.873073
    Unten links KachelX 62381 KachelY + 1 76111 -0.15124092 -0.48651926 -8.665466 -27.875500
    Unten rechts KachelX + 1 62382 KachelY + 1 76111 -0.15119298 -0.48651926 -8.662720 -27.875500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48647689--0.48651926) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48647689--0.48651926) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15124092--0.15119298) × cos(-0.48647689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		do = 269.991909014139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15124092--0.15119298) × cos(-0.48651926) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883965636687362 × 6371000     		du = 269.985858719788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48647689)-sin(-0.48651926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883985446066724-0.883965636687362)×R²
    abs(-0.15119298--0.15124092)×1.98093793623011e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98093793623011e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98093793623011e-05×40589641000000     		ar = 72880.6022300944m²