Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62381 / 76022
↖ ↑ ↗
← S 27.659204°
W  8.665466°		 ← 270.52 m → S 27.659204°
W  8.662720°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
S 27.661636°
W  8.665466°		 ← 270.52 m →
73 179 m²		 S 27.661636°
W  8.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475933074951172 y=0.580005645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475933074951172 × 217)
    floor (0.475933074951172 × 131072)
    floor (62381.5)     		tx = 62381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580005645751953 × 217)
    floor (0.580005645751953 × 131072)
    floor (76022.5)     		ty = 76022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62381 / 76022 ti = "17/62381/76022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62381/76022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62381 ÷ 217
    62381 ÷ 131072     		x = 0.475929260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76022 ÷ 217
    76022 ÷ 131072     		y = 0.580001831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475929260253906 × 2 - 1) × π
    -0.0481414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15124092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580001831054688 × 2 - 1) × π
    -0.160003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502666329415909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15124092} λ = -0.15124092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502666329415909))-π/2
    2×atan(0.604915603266075)-π/2
    2×0.544026077367417-π/2
    1.08805215473483-1.57079632675     		φ = -0.48274417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15124092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.665466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48274417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.659204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62381 KachelY 76022 -0.15124092 -0.48274417 -8.665466 -27.659204
    Oben rechts KachelX + 1 62382 KachelY 76022 -0.15119298 -0.48274417 -8.662720 -27.659204
    Unten links KachelX 62381 KachelY + 1 76023 -0.15124092 -0.48278663 -8.665466 -27.661636
    Unten rechts KachelX + 1 62382 KachelY + 1 76023 -0.15119298 -0.48278663 -8.662720 -27.661636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48274417--0.48278663) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dl = 270.51266000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48274417--0.48278663) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dr = 270.51266000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15124092--0.15119298) × cos(-0.48274417) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88572438406779 × 6371000     		do = 270.523025439928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15124092--0.15119298) × cos(-0.48278663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.885704672849149 × 6371000     		du = 270.517005126388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48274417)-sin(-0.48278663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88572438406779-0.885704672849149)×R²
    abs(-0.15119298--0.15124092)×1.97112186410831e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.97112186410831e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.97112186410831e-05×40589641000000     		ar = 73179.0889285572m²